浙江省宁波市镇海区2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试卷

试卷更新日期：2025-02-28 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、任意作一个三角形，其内角和为 $180 °$ B、经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯 C、同时抛掷两枚质地均匀的骰子，全是2点朝上 D、篮球运动员在罚球线投篮时，成功进球

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2. 二次函数 $y = - {(x - 2)}^{2} + 1$ 的图象的顶点坐标是（　　）

A、（2，1） B、（-2，1） C、（﹣2，﹣1） D、（2，﹣1）

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3. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $A B = 5$ ，则 $\sin B$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为（）

A、π B、2π C、3π D、6π

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5. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $M$ ．若 $C D = B M = 8$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{11}{2}$ C、5 D、6

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6. 如图，C、D是以线段 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上两点（位于AB两侧）， $C D = A D$ ，且 $∠ A B C = 70 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $55 °$

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7. 小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子 $A B C D$ ，点E，F分别是边 $A B$ ， $C D$ 上的点， $E F ∥ B C$ ，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知点 $A (- 3, y_{1})$ ， $B (- 1, y_{2})$ ， $C (4, y_{3})$ 在抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + k$ （ $k$ 为常数）上，则下列结论正确的是（）

A、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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9. 如图， $▱ A B C D$ 中， $A G$ 平分 $∠ B A D$ 分别交 $B D$ ， $B C$ ， $D C$ 延长线于点F，G，E，分别记 $△ A D F$ 与 $△ C E G$ 的面积为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．若 $A B : A D = 3 : 4$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是（）

A、 $\frac{48}{7}$ B、 $\frac{54}{7}$ C、 $\frac{56}{9}$ D、 $\frac{28}{9}$

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10. 如图，等腰 $Rt △ A B C$ 中，点 $D$ 为斜边 $A B$ 的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 、 $A C$ 上的动点，满足 $F D ⊥ D E$ ，连结 $E F$ ．若 $2 ∠ E D B = ∠ C A E$ ，则 $\tan ∠ E F C$ 的值是（）

A、 $2$ B、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $3$

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式．

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12. 在一个由3个男生和2个女生组成的学习小组中，随机选出1人担任组长，则选出的组长是女生的概率为．

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13. 若正多边形的一个外角为 $60 °$ ，则这个正多边形的边数是．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，点P是 $A B$ 上的动点，连结 $P D$ 交对角线 $A C$ 于点E，若 $C E = 6$ ，则 $A P$ 的长为．

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15. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = x + 2$ 相交于点 $A (m, 3)$ 、 $B (n, 0)$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = x + 2$ 的解为．

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16. 如图， $Rt △ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B = 90 °$ ， $O D ⊥ A C$ ，点E为 $B C$ 中点，连结 $C D 、 D E$ ，点F为线段 $A O$ 上一点且满足 $∠ F E D = 45 °$ ，若 $\tan ∠ A C B = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{A F}{F C} =$ ．

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三、解答题（第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）

17. （1）计算： $2 \sin 30 ° - \tan 45 °$ ；
（2）若 $3 a = 2 b$ ，求 $\frac{a - b}{a}$ 的值．

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18. 一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同．

(1)、从中任意摸出1个球是白球的概率；

(2)、现从袋子中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中有一个球是黑球的概率．

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19. 由小正方形组成的5×5的网格中， $△ A B C$ 的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图．

(1)、作 $A C$ 边上的中线 $B D$ ；

(2)、若点E是 $B C$ 上一点，使得 $\frac{S_{△ A C E}}{S_{△ A B C}} = \frac{2}{5}$ ，则 $\frac{C E}{B E} =$ _______，并在图上画出点E．

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20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 是边 $A B$ 上的中线， $∠ A$ 和 $∠ B$ 都是锐角且 $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\tan A = \frac{1}{3}$ ， $B C = \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $\tan ∠ C D B$ 的值．

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22. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为 $1.9$ 米，当水平距离为 $3.5$ 米时，实心球行进至最高点 $\frac{72}{25}$ 米处．宁波市中考掷实心球得分标准如下表．
表：宁波市中考掷实心球得分标准
掷实心球（米）
9.80
9.20
8.60
8.00
7.40
6.80
6.20
5.60
5.00
4.40
分值（分）
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

(1)、求图中抛物线的解析式；

(2)、根据宁波市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分；

(3)、体育老师认为该同学只要提高出手点 $0.3$ 米且保持原抛物线形状不变（即抛物线向上平移 $0.3$ 米）就可以满分了，请判断老师的说法是否正确? $(\sqrt{159} \approx 12.609)$

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23. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 a x + a^{2} + 2 a + 2$ （ $a$ 为常数），

(1)、若 $a = 1$ ，求该二次函数图象的对称轴；

(2)、若 $a > 0$ ，该二次函数在 $- 1 \leq x \leq 2$ 时有最小值2，求 $a$ 的值；

(3)、将二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 a x + a^{2} + 2 a + 2$ 的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为： $y_{1} = 2 {(x - h)}^{2}$ ．若 $2 \leq x \leq m$ 时， $y_{1} \leq x$ 恒成立，求m的最大值．

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24. 如图1所示， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，G是弧 $A C$ 上一点，连接 $A D$ ， $A G$ 和 $D G$ ， H为 $D G$ 与 $A B$ 的交点．

(1)、求证： $∠ A D C = ∠ A G D$ ；

(2)、连接 $B G$ 交 $C E$ 于点M，
①如图2，若 $D G$ 恰好经过点 $O$ ， $A B = 4$ ， $C M = 2 E M$ ，求 $B G$ 的长度；
②如图3，过点A作 $A N ⊥ D G$ ，连结EN，若 $H E = 1$ ， $B H = k$ ， $S_{四边形 E B G N} = S_{△ A H N}$ ，请用含 $k$ 的代数式表示 $C D$ 的长度．

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掷实心球（米）	9.80	9.20	8.60	8.00	7.40	6.80	6.20	5.60	5.00	4.40
分值（分）	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1