2015-2016学年江西省新余市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 命题“任意的x∈R，2x⁴﹣x²+1＜0”的否定是（）

A、不存在x∈R，2x⁴﹣x²+1＜0 B、存在x∈R，2x⁴﹣x²+1＜0 C、对任意的x∈R，2x⁴﹣x²+1≥0 D、存在x∈R，2x⁴﹣x²+1≥0

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2. 设复数z满足 $\frac{1 - z}{1 + z} = i 则 | 1 + z |$ =（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 下列结论正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“∀x∈R，x²+2＜0”是全称命题；
③若p：∃x∈R，x²+4x+4≤0，则q：∀x∈R，x²+4x+4≤0是全称命题．

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 设 $\vec{a}$ =（x，2y，3）， $\vec{b}$ =（1，1，6），且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则x+y等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图，则y=f（x）的图象最有可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 对于数25，规定第1次操作为2³+5³=133，第2次操作为1³+3³+3³=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）

A、25 B、250 C、55 D、133

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7. 用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（　　）

A、a、b、c三个实数中最多有一个不大于零 B、a、b、c三个实数中最多有两个小于零 C、a、b、c三个实数中至少有两个小于零 D、a、b、c三个实数中至少有一个不大于零

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8. 若 $\int \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}$ （x﹣a）dx= $\int \begin{matrix} \frac{π}{6} \\ 0 \end{matrix}$ cosxdx，则a等于（）

A、﹣1 B、1 C、2 D、4

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9. 在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为四边形ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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10. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（　　）

A、甲是乙成立的充分不必要条件 B、甲是乙成立的必要不充分条件 C、甲是乙成立的充要条件 D、甲是乙成立的非充分非必要条件

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11. 设F₁ ， F₂是双曲线x²﹣4y²=4a（a＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ， $| \vec{P F_{1}} | \cdot | \vec{P F_{2}} | = 2$ ，则a的值为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{5}$

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12. 若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）恒成立，则（）

A、3f（ln2）＞2f（ln3） B、3f（ln2）=2f（ln3） C、3f（ln2）＜2f（ln3） D、3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定

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二、填空题

13. 如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若 $\vec{A E}$ = $\frac{1}{2} \vec{O D}$ +x $\vec{O B}$ +y $\vec{O A}$ ，则x+y= ．

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14. 已知在等差数列{a_n}中， $\frac{a_{11} + a_{12} + \dots + a_{20}}{10} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{30}}{30}$ ，则在等比数列{b_n}中，类似的结论为．

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15. 设点P是曲线 $y = x^{3} - \sqrt{3} x + \frac{2}{3}$ 上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为．

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16. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若 $\vec{F A} = 2 \vec{A B}$ ，则双曲线的离心率为．

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三、解答题

17. 已知命题p：方程 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x²+2mx+2m+3=0无实根，

(1)、若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

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18. 在数列{a_n}中，a₁= $\frac{1}{3}$ ，且前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍（n∈N^*）．

(1)、写出此数列的前5项；

(2)、归纳猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

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19. 由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为 $\frac{x}{10}$ ），涨价后商品卖出的个数减少bx成，税率是新价的a成，这里a，b均为常数，且a＜10，用A表示过去定价，B表示过去卖出的个数．

(1)、设售货款扣除税款后，剩余y元，求y关于x的函数解析式；

(2)、要使y最大，求x的值．

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20. 如图，在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．

(1)、求证：A₁B∥平面ADC₁；

(2)、求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的平面角的正弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点P在椭圆C上，且 $\vec{O P}$ = $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ ，求直线l的方程．

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22. 已知函数f（x）=alnx，g（x）=x² ．其中x∈R．

(1)、若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；

(2)、若f（x）≤g（x）﹣1对任意x＞0恒成立，求实数a的值；

(3)、当a＜0时，对于函数h（x）=f（x）﹣g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点A、B连线的斜率为k_AB ，若|k_AB|≥1，求a的取值范围．

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