2015-2016学年江西省赣州市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. $\frac{4 + 3 i}{2 - i}$ =（）

A、1﹣2i B、1+2i C、 $\frac{5}{3}$ ﹣ $\frac{10}{3}$ i D、 $\frac{5}{3}$ + $\frac{10}{3}$ i

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2. 圆 ${\begin{matrix} x = 3 \sin θ + 1 \\ y = 3 \cos θ - 2 \end{matrix}$ ，（θ为参数）的圆心到直线 ${\begin{matrix} x = 4 t - 6 \\ y = - 3 t + 2 \end{matrix}$ ，（t为参数）的距离是（）

A、1 B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、3

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3. 若 $\int \begin{matrix} a \\ 1 \end{matrix}$ （2x+ $\frac{1}{x}$ ）dx=3+ln2且a＞1，则实数a的值是（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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4. 在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为（）

A、 $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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5. 设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3} \sin θ}{3} x^{3} + \frac{\cos θ}{2} x^{2} + 4 x - 1$ ，其中 $θ \in [0 ， \frac{5 π}{6}]$ ，则导数f′（﹣1）的取值范围（）

A、[3，6] B、 $[3 ， 4 + \sqrt{3}]$ C、 $[4 - \sqrt{3} ， 6]$ D、 $[4 - \sqrt{3} ， 4 + \sqrt{3}]$

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6. 在（1+x）⁸（1+y）⁴的展开式中，记x^myⁿ项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（1，2）=（）

A、102 B、103 C、104 D、105

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7. 设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=（）

A、3 B、 $\frac{5}{3}$ C、5 D、 $\frac{7}{3}$

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8. 根据如下样本数据，得到回归方程 $\hat{y}$ =bx+a，则（）
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
﹣0.5
0.5
﹣2.0
﹣3.0

A、a＞0，b＞0 B、a＞0，b＜0 C、a＜0，b＞0 D、a＜0，b＜0

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9. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

A、60种 B、70种 C、75种 D、150种

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10. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数
均为偶数”，则P（B|A）=（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 设函数f（x）=（x³﹣1）²+1，下列结论中正确的是（）

A、x=1是函数f（x）的极小值点，x=0是函数f（x）的极大值点 B、x=1及x=0均是函数f（x）的极大值点 C、x=1是函数f（x）的极大值点，x=0是函数f（x）的极小值点 D、x=1是函数f（x）的极小值点，函数f（x）无极大值点

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12. 设点P在曲线 $y = \frac{1}{2} e^{x}$ 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）

A、1﹣ln2 B、 $\sqrt{2} (1 - \ln 2)$ C、1+ln2 D、 $\sqrt{2} (1 + \ln 2)$

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二、填空题

13. 设z= $\frac{1}{1 + i}$ +i，则|z|= ．

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14. 曲线y=﹣5e^x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．

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15. 若（ax²+ $\frac{b}{x}$ ）⁶的展开式中x³项的系数为20，则a²+b²的最小值为．

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16. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．

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三、解答题.

17. 已知z∈C，z+2i 和 $\frac{z}{2 - i}$ 都是实数．

(1)、求复数z；

(2)、若复数（z+ai）² 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．

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18. 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25，30]
3
0.12
（30，35]
5
0.20
（35，40]
8
0.32
（40，45]
n₁
f₁
（45，50]
n₂
f₂

(1)、确定样本频率分布表中n₁ ， n₂ ， f₁和f₂的值；

(2)、根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(3)、根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．

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19. 已知y=ax²+bx（a＜0）通过点（1，2），且其图象与y=﹣x²+2x的图象有二个交点（如图所示）．

(1)、求y=ax²+bx与y=﹣x²+2x所围成的面积S与a的函数关系；

(2)、当a，b为何值时，S取得最小值．

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20. 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

(1)、根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计

(2)、将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．
P（K²≥k）
0.05
0.01
k
3.841
6.635
附：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

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21. 已知直线l的参数方程： ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²= $\frac{12}{4 \cos^{2} θ + 3 \sin^{2} θ}$ ．

(1)、求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)、设曲线C与直线l交于A，B两点，若P（1，2），求|PA|+|PB|的值．

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22. 已知函数f（x）=aln（2x+1）+bx+1．

(1)、若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y﹣3=0平行，求a的值；

(2)、若 $b = \frac{1}{2}$ ，试讨论函数y=f（x）的单调性．

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分组	频数	频率
[25，30]	3	0.12
（30，35]	5	0.20
（35，40]	8	0.32
（40，45]	n₁	f₁
（45，50]	n₂	f₂

x	3	4	5	6	7	8
y	4.0	2.5	﹣0.5	0.5	﹣2.0	﹣3.0

	非体育迷	体育迷	合计
男
女		10	55
合计

P（K²≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635