广西柳州市2023-2024学年高一下学期4月联考数学试题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x ∣ x = 2 k π, k \in Z}$ ， $B = {x ∣ x = k π, k \in Z}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \cap B = \emptyset$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \subseteq B$

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2. 记复数 $z$ ，若 $z (1 - i) = 2 + 2 i$ ，则 $| z | =$ ( )

A、 $1$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4$

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3. 若 $△ O A B$ 的直观图如图所示， $∠ B^{'} A^{'} O^{'} = \frac{π}{2}$ ， $B^{'} A^{'} = 1$ ，则顶点B到x轴的距离是（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 已知 $\vec{a} = (- 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{10})$

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5. 已知函数 $f (x) = a^{x - 2} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 恒过定点 $M (m, n)$ ，则函数 $g (x) = m^{x} - n$ 不经过( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x y = 4$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为( )

A、 $4$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6$ D、 $8 \sqrt{2}$

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7. 假设甲和乙刚开始的“日水平值”相同，之后甲通过学习，“日水平值”都在前一天的基础上进步了 $2 %$ ，而乙懈怠，“日水平值”都在前一天的基础上退步了 $1 %$ ，大约经过 $()$ 天，甲的“日水平值”是乙的 $10$ 倍 $. ($ 参考数据 $l g 102 \approx 2.0086$ ， $l g 99 \approx 1.9956)$

A、 $77$ B、 $92$ C、 $100$ D、 $123$

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8. 定义运算 $a \otimes b = \{\begin{array}{l} b, a \leq b \\ a, a > b \end{array}$ ，例如 $1 \otimes 2 = 2$ ，则函数 $f (x) = \sin x \otimes \cos x$ 的值域为（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ B、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ C、 $[- 1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[- 1, - \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．

9. 下列判断正确的是( )

A、若 $s i n β = \frac{1}{2}$ ，则 $β = \frac{π}{6} + 2 k π$ ， $k \in Z$ B、若 $t a n (β - \frac{π}{4}) = 2$ ，那么 $t a n β = - 3$ C、若 $c o s (\frac{5}{12} π + β) = \frac{5}{13}$ ，则 $s i n (\frac{π}{12} - β) = \frac{5}{13}$ D、角 $β$ 为第一或第二象限角的充要条件是 $c o s β \cdot t a n β > 0$

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10. 将函数 $f (x) = s i n x$ 图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再将得到的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法中正确的是( )

A、最小正周期为 $π$ B、对称中心为 $(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, 0) (k \in Z)$ C、一条对称轴为 $x = \frac{2 π}{3}$ D、在 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增

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11. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $g (x) = f (4 + x)$ ， $f (x + y) + f (x - y) = g (x - 4) f (y)$ ， $g (- 3) = 1$ ，则下列说法正确的有( )

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的周期为 $4$ D、 $\sum_{k = 1}^{2026} f (k) = - 3$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若 $2^{a} = 5^{b} = 100$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ ．

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13. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为 $2$ ，圆柱的底面半径为 $1$ ，高为 $4$ ，则该几何体的表面积为．

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14. 函数 $f (x) = (\frac{1}{4})^{x} - (\frac{1}{2})^{x} + 2$ 在 $[- 1,2]$ 的最小值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $f (α) = \frac{s i n (π - α) c o s (\frac{π}{2} - α)}{c o s (2 π + α) s i n (- π - α)}$ ．

(1)、若角 $α$ 的终边过点 $P (3,4)$ ，求 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $4 s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α$ 的值．

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16. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量， $\vec{a} = (2, 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ．

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17. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ．过 $D$ 点的直线 $E F$ 与直线 $A B$ 相交于 $E$ 点，与直线 $A C$ 相交于 $F$ 点（ $E, F$ 两点不重合）．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ ；

(2)、若 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{λ} + \frac{3}{μ}$ 的值．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $c c o s B + b c o s C = \frac{a}{2 c o s A}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $c o s B = \frac{1}{3}$ ，求 $s i n (2 B + A)$ 的值；

(3)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长和外接圆的面积．

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {c o s}^{2} ω x + c o s ω x s i n ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f^{2} (x) - a f (x) + \frac{a}{4}$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上有三个不同零点，求实数 $a$ 取值范围．

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