广西玉林市重点中学2024-2025学年高三第二次联考数学试卷

试卷更新日期：2025-02-27 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数 $z = \frac{5}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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2. 做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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3. 将函数 $y = \sin (3 x + φ)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{9}$ 个单位长度后，得到函数 $f (x)$ 的图象，则“ $φ = \frac{π}{6}$ ”是“ $f (x)$ 是偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}, x \in R)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的表达式是

A、 $2 \cos (\frac{3}{2} x + \frac{π}{4})$ B、 $2 \cos (x + \frac{π}{4})$ C、 $2 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ D、 $2 \cos (\frac{3}{2} x - \frac{π}{4})$

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5. 已知边长为4的菱形 $A B C D$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点， $N$ 为平面 $A B C D$ 内一点，若 $A N = N M$ ，则 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{A N} =$ （）

A、16 B、14 C、12 D、8

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6. 设 $i$ 为虚数单位， $z$ 为复数，若 $\frac{|z|}{z} + i$ 为实数 $m$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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7. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长和侧棱长都相等， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60^{°}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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8. 平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别满足 $\overset{⃑}{A E} = 2 \overset{⃑}{E D}$ ， $\overset{⃑}{D F} = \overset{⃑}{F C}$ ，且 $\overset{⃑}{A F} \cdot \overset{⃑}{B E} = - 6$ ，则向量 $\overset{⃑}{A D}$ 在 $\overset{⃑}{A B}$ 上的投影为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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9. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 3 \geq 0 \\ x + 2 y \geq 0 \\ x \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最小值为（）

A、-5 B、2 C、7 D、11

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10. 设 $a = \ln 3$ ，则 $b = \lg 3$ ，则（）

A、 $a + b > a - b > a b$ B、 $a + b > a b > a - b$ C、 $a - b > a + b > a b$ D、 $a - b > a b > a + b$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (x - 1) e^{x} (a \in R)$ 若对区间 $[0 ， 1]$ 内的任意实数 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ，都有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq f (x_{3})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[e, 4]$ C、 $[1 ， 4]$ D、 $[1 ， 2) \cup [e, 4]$

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12. 若x，y满足约束条件 $\{\begin{array}{l} x - y + 4 \geq 0, \\ x - 2 \leq 0, \\ x + y - 2 \geq 0, \end{array}$ 且 $z = a x + y$ 的最大值为 $2 a + 6$ ，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且过 C, D 两点的双曲线的离心率为.

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14. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M, N, E$ 分别为棱 $A A_{1}, A B, A D$ 的中点，以 $A$ 为圆心，1为半径，分别在面 $A B B_{1} A_{1}$ 和面 $A B C D$ 内作弧 $M N$ 和 $N E$ ，并将两弧各五等分，分点依次为 $M$ 、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 、 $N$ 以及 $N$ 、 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ 、 $Q_{4}$ 、 $E$ ．一只蚂蚁欲从点 $P_{1}$ 出发，沿正方体的表面爬行至 $Q_{4}$ ，则其爬行的最短距离为．参考数据： $\cos 9 ° = 0.9877$ ； $\cos 18 ° = 0.9511$ ； $\cos 27 ° = 0.8910$ ）

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15. 下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

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16. 复数 $z = i (2 + i)$ （其中i为虚数单位）的共轭复数为.

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三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | 2 x + m |$ ， $(m \in R)$ .
（1）若 $m = 4$ 时，解不等式 $f (x) \leq 6$ ；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | 2 x - 5 |$ 在 $x \in [0, 2]$ 上有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数f(x)=e^x-x²-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）证明：f(x)的极大值不小于1．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ， $g (x) = (x + k) \ln (x + k) - x$ ．
（1）若 $k = 1$ ， $f^{'} (t) = g^{'} (t)$ ，求实数 $t$ 的值．
（2）若 $a, b \in R^{+}$ ， $f (a) + g (b) \geq f (0) + g (0) + a b$ ，求正实数 $k$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象关于原点对称，且 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ．
（1）解关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq f (x) - |x - 1|$ ；
（2）如果对 $\forall x \in R$ ，不等式 $g (x) + c \leq f (x) - |x - 1|$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围．

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21. 如图所示，直角梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， AD垂直AB， $A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形EDCF为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $D F$ ∥平面ABE；

(2)、求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；

(3)、在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = \cos α \\ y = 3 \sin α \end{cases}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin θ + ρ \cos θ = 6$ .
（1）求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；
（2）若射线 $m$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ .设 $m$ 与 $C$ 相交于点 $M$ ， $m$ 与 $L$ 相交于点 $N$ ，求 $|M N|$ .

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