2015-2016学年湖北省孝感市五校教学联盟高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 复数 $\frac{1 + 2 i}{1 + i}$ 的虚部是（）

A、2i B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，反设正确的是（）

A、假设四内角至多有两个大于90度 B、假设四内角都不大于90度 C、假设四内角至多有一个大于90度 D、假设四内角都大于90度

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3. 已知曲线y=f（x）在x=5处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）与f′（5）分别为（）

A、3，3 B、3，﹣1 C、﹣1，3 D、﹣1，﹣1

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4. 在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（　　）
①点P关于x轴对称点的坐标是P₁（x，﹣y，z）；
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P₂（x，﹣y，﹣z）；
③点P关于y轴对称点的坐标是P₃（x，﹣y，z）；
④点P关于原点对称的点的坐标是P₄（﹣x，﹣y，﹣z）．

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. （文）设a∈R，则a＞1是 $\frac{1}{a}$ ＜1的（）

A、必要但不充分条件 B、充分但不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x²+y²﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）

A、y=3x²或y=﹣3x² B、y=3x² C、y²=﹣9x或y=3x² D、y=﹣3x²或y²=9x

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7. 设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 定积分 $\int \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} (\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} - x) d x$ 等于（）

A、 $\frac{π - 2}{4}$ B、 $\frac{π}{2} - 1$ C、 $\frac{π - 1}{4}$ D、 $\frac{π - 1}{2}$

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9. 以下三个命题中：
①设有一个回归方程 $\hat{y}$ =2﹣3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；
②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．
其中真命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 已知F₁、F₂分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF₁为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF₁F₂的面积等于a²时，双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、2

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11. 李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（　　）

A、24 B、14 C、10 D、9

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12. 设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）

A、（﹣1，0）∪（1，+∞） B、（﹣1，0）∪（0，1） C、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

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二、填空题

13. 已知两定点F₁（﹣1，0），F₂（1，0）且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则动点P的轨迹方程是．

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14. 观察下列式子：
1+ $\frac{1}{2^{2}}$ ＜ $\frac{3}{2}$ ，1+ $\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ ＜ $\frac{5}{3}$ ，1+ $\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + $\frac{1}{4^{2}}$ ＜ $\frac{7}{4}$ ，…
据以上式子可以猜想：1+ $\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + $\frac{1}{4^{2}}$ +…+ $\frac{1}{2015^{2}}$ ＜．

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15. 如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为

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16. 对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀ ，则称点（x₀ ， f（x₀））y=f（x）”．有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”．请你将这一发现作为条件，则函数f（x）=x³﹣3x²+3x的对称中心为．

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三、解答题

17. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X和Y，它们的分布列分别为
X
0
1
2
P
0.1
a
0.4
Y
0
1
2
P
0.2
0.2
b

(1)、求a，b的值；

(2)、计算X和Y的期望与方差，并以此分析甲、乙两射手的技术情况．

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18. 已知命题p：方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1}$ =1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：复数z=（m﹣3）+（m﹣1）i对应的点在第二象限，又p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

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19. 如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁ ，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别为A₁B₁、A₁A的中点．

(1)、求 $\cos 〈 \vec{B A_{1}} ， \vec{C B_{1}} 〉$ ＞的值；

(2)、求证：BN⊥平面C₁MN；

(3)、求点B₁到平面C₁MN的距离．

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20. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ x²﹣3x+（a﹣1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）﹣g（x）+3x．

(1)、当a=5时，求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；

(2)、当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值．

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21. 双曲线C的中心在原点，右焦点为 $F (\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

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22. 已知函数f_n（x）= $\frac{1}{3}$ x³﹣ $\frac{1}{2}$ （n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．

(1)、求a₂ ， a₃ ， a₄；

(2)、根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；

(3)、求证： $\frac{1}{{(2 a_{1} - 5)}^{2}}$ + $\frac{1}{{(2 a_{2} - 5)}^{2}}$ +…+ $\frac{1}{{(2 a_{n} - 5)}^{2}}$ ＜ $\frac{3}{2}$ ．

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X	0	1	2
P	0.1	a	0.4

Y	0	1	2
P	0.2	0.2	b