2015-2016学年湖北省黄冈市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知A={y|y=log₂x，x＞1}，B={y|y=（ $\frac{1}{2}$ ）^x ， x＞1}，则A∩B=（　　）

A、（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（0，1） C、（ $\frac{1}{2}$ ， 1） D、∅

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2. 如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 $\hat{y}$ =﹣0.7x+ $\hat{a}$ ，则 $\hat{a}$ =（）
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5

A、10.5 B、5.15 C、5.25 D、5.2

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3. 若（3x²﹣ $\frac{1}{2 x^{3}}$ ）ⁿ的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时常数项为（）

A、 $- \frac{135}{2}$ B、﹣135 C、 $\frac{135}{2}$ D、135

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4. 若f′（x₀）=2，则 $\lim_{k \to 0}$ $\frac{f (x_{0} - k) - f (x_{0})}{2 k}$ 等于（）

A、﹣1 B、﹣2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ²），其正态分布密度曲线为函数f（x）的图象，且 $\int_{0}^{2}$ f（x）dx= $\frac{1}{3}$ ，则P（x＞4）=（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设点P是曲线y=e^x﹣ $\sqrt{3}$ x+ $\frac{2}{3}$ 上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）

A、[ $\frac{2}{3} π ， π$ ） B、[0， $\frac{π}{2}$ ）∪（ $\frac{2}{3} π ， π$ ） C、[0， $\frac{π}{2}$ ）∪[ $\frac{5 π}{6}$ ，π） D、[ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{5 π}{6}$ ）

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7. 已知f（n）= $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n + 2}$ +…+ $\frac{1}{3 n + 1}$ ，则f（k+1）﹣f（k）等于（）

A、 $\frac{1}{3 (k + 1) + 1}$ B、 $\frac{1}{3 k + 2}$ C、 $\frac{1}{3 k + 2}$ + $\frac{1}{3 k + 3}$ + $\frac{1}{3 k + 4}$ ﹣ $\frac{1}{k + 1}$ D、 $\frac{1}{3 k + 4}$ ﹣ $\frac{1}{k + 1}$

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8. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（）

A、120个 B、80个 C、40个 D、20个

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9. 下列判断错误的是（）

A、若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21 B、若n组数据（x₁ ， y₁）…（x_n ， y_n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1 C、若随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（5， $\frac{1}{5}$ ），则Eξ=1 D、“am²＜bm²”是“a＜b”的必要不充分条件

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10. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
P（K²≥k）
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
附： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
参照附表，得到的正确结论是（）

A、在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B、在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C、有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D、有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

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11. 给出下列四个命题：
①f（x）=x³﹣3x²是增函数，无极值．
②f（x）=x³﹣3x²在（﹣∞，2）上没有最大值
③由曲线y=x，y=x²所围成图形的面积是 $\frac{1}{6}$
④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）
其中正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 下面是关于复数z= $\frac{2}{- 1 + i}$ 的四个命题：p₁：|z|=2，p₂：z²=2i，p₃：z的共轭复数为1+i，p₄：z的虚部为﹣1．
其中的真命题为．

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14. 某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有种．

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15. 二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr²；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr² ，三维测度（体积）V= $\frac{4}{3}$ πr³；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr³ ，则猜想其四维测度W= ．

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16. 已知f（x）= $\frac{1}{3}$ x³+x，x∈R，若至少存在一个实数x使得f（a﹣x）+f（ax²﹣1）＜0成立，a的范围为．

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三、解答题

17. 已知：全集U=R，函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2}} + \lg (3 - x)$ 的定义域为集合A，集合B={x|x²﹣a＜0}

(1)、求∁_UA；

(2)、若A∪B=A，求实数a的范围．

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18. 已知函数f（x）= $\frac{2^{x} + b}{2^{x} + a}$ （a、b为常数），且f（1）= $\frac{1}{3}$ ，f（0）=0．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；

(3)、对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2^x+1）＜m•4^x恒成立，求实数m的取值范围．

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19. 甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ

(1)、求掷骰子的次数为7的概率；

(2)、求ξ的分布列及数学期望Eξ．

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20. 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣ $\frac{2 e \ln x}{x}$ ﹣ $\frac{1}{x}$ 万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）

(1)、写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式

(2)、当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + (a - 1) \ln x ， a \geq 2$ ．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、证明：若a＜5，则对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty) ， x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ ．

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四、选考题

22. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

(1)、若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

(2)、若OA= $\sqrt{3}$ CE，求∠ACB的大小．

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23. 已知曲线C的参数方程是 ${\begin{matrix} x = \cos α \\ y = m + \sin α \end{matrix}$ （α为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x =1+ \frac{\sqrt{5}}{5} t \\ y =4 + \frac{2 \sqrt{5}}{5} t \end{matrix}$ （t为参数），

(1)、求曲线C与直线l的普通方程；

(2)、若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|= $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，求实数m的值．

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24. 设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．

(1)、若a=﹣1，解不等式f（x）≥3

(2)、如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

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月份x	1	2	3	4
用水量y	4.5	4	3	2.5

	做不到“光盘”	能做到“光盘”
男	45	10
女	30	15

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025
k	2.706	3.841	5.024