浙江省温州市实验中学2024-2025学年九年级下学期数学寒假反馈试卷

试卷更新日期：2025-03-12 类型：开学考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1. 实数0， $- 8$ ， 7， $- 6$ 中，最大的实数是（）

A、0 B、 $- 8$ C、7 D、 $- 6$

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2. 根据某网站统计数据，截止至2025年1月， $D e e p S e c k$ 的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（）

A、 $2.7 \times 10^{8}$ B、 $2.78 \times 10^{8}$ C、 $0.278 \times 10^{9}$ D、 $2.78 \times 10^{7}$

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3. 下列式子运算正确的是（）．

A、 $4 a - 3 a = 1$ B、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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4. 小王假期某天5次1分钟跳绳训练成绩分别为121，108，112，139，139，则这5次成绩的中位数是（）

A、121 B、112 C、139 D、108

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5. 关于x的一元二次方程 $3 x^{2} - x - 6 = 0$ 根的情况是（）

A、有一个实数根是 $x = 3$ B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无实数根

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6. 如图， $C$ ， $D$ 为 $⊙ O$ 上两点， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径．若 $∠ A D C = 25 °$ ，则 $∠ C O B$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $130 °$ C、 $150 °$ D、 $155 °$

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7. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子总数为y两，可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 x + 4 = y \\ 9 x - 8 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 x + 4 = y \\ 9 x + 8 = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 y - 4 = x \\ 9 y - 8 = x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 y + 4 = x \\ 9 y + 8 = x \end{array}$

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8. 已知 $A (a, m)$ ， $B (b, n)$ 是反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 图象上的点，且 $m < 0$ ， $n > 0$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $a > b > 0$ B、 $a > 0 > b$ C、 $a < b < 0$ D、 $a < 0 < b$

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9. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置 $O A_{1}$ 释放到 $O A$ 处时，两次位置的高度差 $P A = h$ ．则秋千绳索 $O A$ 的长为（）

A、 $\frac{h}{1 - \cos α}$ B、 $\frac{h}{1 + \cos α}$ C、 $\frac{h}{1 - \sin α}$ D、 $\frac{1 - \cos α}{h}$

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10. 如图所示的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 $E F G H$ 拼成的一个大正方形 $A B C D$ ．射线 $A G$ 交边 $H E ， C D$ 于点P，Q，记 $△ A B G$ 的周长为 $C_{1}$ ， $△ D P Q$ 的周长为 $C_{2}$ ．若 $\tan ∠ B A F = k$ ，则用含k的代数式表示 $\frac{C_{2}}{C_{1}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2 k - k^{2}}$ B、 $2 k - k^{2}$ C、 $\frac{1}{k^{2} - k + 1}$ D、 $k^{2} - k + 1$

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二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）

11. 因式分解： $x^{2} - 4 =$ .

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12. 若 $\frac{2}{x - 2} = 1$ ，则 $x =$ ．

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13. 甲、乙两名同学分别从某月1号，2号和3号中选择一天去图书馆，则他们选中同一天的概率是．

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14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D在 $A B$ 的延长线上，DC切⊙O于点C，若 $∠ D = 36 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

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15. 如图，有一张长方形纸片 $A B C D$ ，其中边 $A B$ 的长为2，将长方形沿对角线 $B D$ 对折，折叠后得到 $△ B E D$ ，点C的对应点为E， $B E$ 与 $A D$ 交于点F，再将 $△ E D F$ 沿 $D F$ 对折，使点E落在长方形纸片的内部点G处，若 $B D$ 平分 $∠ A D G$ ，则 $A D$ 的长为．

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16. 蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线 $y = - \frac{1}{400} x^{2} + 36$ ，构造桥面形状（长度单位： $mm$ ），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20 $mm$ ，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4 $mm$ ，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为 $mm$ ．

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三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17.

(1)、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt[3]{27} + | - 2 |$ ．

(2)、化简： ${(x + 2)}^{2} - 4 (x - 1)$ ．

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18. 象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的 $D$ 处测得塔顶 $A$ 处的仰角为 $45 °$ ，塔底部 $B$ 处的俯角为 $22 °$ ．已知高台 $C D$ 为4米，请计算亚帆灯塔的高 $A B$ 的值．（结果精确到1米；参考数据： $sin 22 ° \approx 0.37$ ， $cos 22 ° \approx 0.93$ ， $tan 22 ° \approx 0.40$ ）

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以 $B$ ， $C$ 为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ，直线 $M N$ 交边 $B C$ 于点 $F$ ，交边 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、请根据以上尺规作图为依据，结合图形写出两个正确的结论： ▲ ， ▲ ；（不添加字母和线段）

(2)、若 $∠ A C B = 90 °$ ，求证： $△ A C E$ 为等腰三角形．（上题所写正确结论可作为已知条件）

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20. 国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整），其中分组情况（x为在校锻炼时间）：A组： $x < 0.5$ ；B组： $0.5 \leq x < 1$ ；C组： $1 \leq x < 1.5$ ；D组： $x \geq 1.5$ ．
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、接受调查学生的总人数为人，A组的人数是人．

(2)、根据统计数据估计该地区10000名中学生中，每天在校体育锻炼时间达到国家规定的人数约有多少？

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21. 如图在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，点O为对角线 $B D$ 的中点，过点O的直线． $E F ⊥ A D$ 于点E ，交 $B C$ 于点F ， $O E = O F$ ，连接 $O C$ ， $∠ F O C = ∠ O D A$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为菱形．

(2)、若 $A B = 1$ ， $B D = 3 E F$ ，求 $O C$ 的长．

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22. 一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中线段 $O A ， B C$ 分别表示甲、乙两人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．

(1)、求 $B C$ 所在直线的表达式．

(2)、出发后，甲行走多少时间与乙相遇？

(3)、点D的横坐标m表示甲到达P地的时间，此时甲、乙两人之间的距离为200米，求P，N两地的距离．

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23. 将抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ （a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点 $(1, 5)$ ．

(1)、求原抛物线的函数表达式．

(2)、已知点 $P (m, y_{1})$ ， $Q (m + 3, y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 上．
①求证： $y_{1} + y_{2} \leq \frac{7}{2}$ ；
②若 $y_{2} < y_{1} < 3$ ，直接写出m的取值范围．

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 为圆内接四边形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A E$ 上， $D F = A E$ ， $∠ D F C = ∠ B D C$ ．

(1)、求证： $B E = C D$ ．

(2)、若点 $B$ 为 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点．
①求证： $B E^{2} = C E \cdot C B$ ．
②若 $\frac{A B}{C D} = \frac{3}{2}$ ，求 $\frac{B C}{F D}$ 的值．

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