2015-2016学年河南省新乡市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 直线 $\sqrt{3}$ x﹣y+a=0（a∈R）的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、150° D、120°

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2. 复数z= $\frac{- 3 + i}{2 + i}$ 的共轭复数是（）

A、 1﹣i B、﹣1+i C、2+i D、2﹣i

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3. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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4. 在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= $\sqrt{3}$ b，则角A等于（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 设集合M={x|x＜2016}，N={x|y=lg（x﹣x²）}，则下列关系中正确的是（）

A、N∈M B、M∪N=R C、M∩N={x|0＜x＜1} D、M∩N=∅

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6. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则“m=1”是“ $(\vec{a} - m \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 从 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n} = 1$ （其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若 $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) | 对 x \in R$ 恒成立，且 $f (\frac{π}{2}) > f (π)$ ，则φ等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{7 π}{6}$ D、 $\frac{11 π}{6}$

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9. 设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：
① $\begin{matrix} α ‖ β \\ α ‖ γ \end{matrix}} \Rightarrow β ‖ γ$
② $\begin{matrix} α ⊥ β \\ m ‖ β \end{matrix}} \Rightarrow m ⊥ β$
③ $\begin{matrix} α ⊥ m \\ m ‖ β \end{matrix}} \Rightarrow α ⊥ β$
④ $\begin{matrix} m ‖ n \\ n \subset α \end{matrix}} \Rightarrow m ‖ α$
其中，真命题是（）

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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10. 已知sin（α+ $\frac{π}{3}$ ）+sinα=﹣ $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜α＜0，则cos（α+ $\frac{2 π}{3}$ ）等于（）

A、﹣ $\frac{4}{5}$ B、﹣ $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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11. 已知 $a = 2 \int_{0}^{π} (\cos (x + \frac{π}{6})) d x$ ，则二项式 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中x的系数为（）

A、10 B、﹣10 C、80 D、﹣80

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12. 已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x²﹣6x+21）+f（y²﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x²+y²的取值范围是（）

A、（9，25） B、（13，49） C、（3，7） D、（9，49）

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二、填空题

13. 设等比数列{a_n}的公比 $q = \frac{1}{2}$ ，前n项和为S_n ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}}$ = ．

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14. 已知不等式组 ${\begin{matrix} y \leq x \\ y \geq - x \\ x \leq a \end{matrix}$ ，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为．

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15. 如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2， $\frac{1}{2}$ ]内，则输入的实数x的取值范围是．

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16.
一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是．

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}满足a₃=7，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和S_n ．

(1)、求a_n及S_n；

(2)、令b_n= $\frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ （n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．

(1)、求A、B两人都申请甲套住房的概率；

(2)、求A、B两人不申请同一套住房的概率；

(3)、设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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19. 如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．

(1)、若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．

(2)、若二面角P﹣BF﹣C的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

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20. 已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
﹣2
4
$\sqrt{2}$
y
﹣2 $\sqrt{3}$
0
﹣4
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求C₁、C₂的标准方程；

(2)、请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足 $\vec{O M} ⊥ \vec{O N}$ ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数）．

(1)、若k∈R，求函数f（x）的单调区间；

(2)、若k＞0，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．

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22. 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．

(1)、判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；

(2)、若AE=6，BE=8，求EF的长．

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23. 已知曲线C₁： ${\begin{matrix} x = 1 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{matrix}$ （α为参数）与曲线C₂：ρ=4sinθ

(1)、写出曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；

(2)、求曲线C₁和C₂公共弦的长度．

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24. 已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．

(1)、求M；

(2)、当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

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x	3	﹣2	4	$\sqrt{2}$
y	﹣2 $\sqrt{3}$	0	﹣4	$\frac{\sqrt{2}}{2}$