2015-2016学年河南省南阳市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 虚数的平方是（）

A、正实数 B、虚数 C、负实数 D、虚数或负实数

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2. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x₀）=0，那么x=x₀是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x³的极值点．以上推理中（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、结论正确

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3. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 $\bar{x}$ =3， $\bar{y}$ =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A、 $\hat{y}$ =0.4x+2.3 B、 $\hat{y}$ =2x﹣2.4 C、 $\hat{y}$ =﹣2x+9.5 D、 $\hat{y}$ =﹣0.3x+4.4

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4. 甲射击命中目标的概率是 $\frac{1}{4}$ ，乙命中目标的概率是 $\frac{1}{3}$ ，丙命中目标的概率是 $\frac{1}{2}$ ，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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5. 已知X是离散型随机变量，P（X=1）= $\frac{2}{3}$ ，P（X=a）= $\frac{1}{3}$ ，E（X）= $\frac{4}{3}$ ，则D（2X﹣1）等于（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、﹣ $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 复数i+2i²+3i³+4i⁴+…+2016i²⁰¹⁶的虚部是（）

A、1008 B、﹣1008 C、1008i D、﹣1008i

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7. （x²+x+y）⁵的展开式中，x⁷y的系数为（）

A、10 B、20 C、30 D、60

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8. 已知X～N（μ，σ²）时，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则 $\int \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}}$ dx=（）

A、0.043 B、0.0215 C、0.3413 D、0.4772

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9. 函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10.
如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）

A、 $\frac{126}{125}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{168}{125}$ D、 $\frac{7}{5}$

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11. 从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（）

A、96 B、98 C、108 D、120

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12. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣3）=0，当x＞0时，有f（x）﹣xf′（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）

A、（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B、（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C、（﹣3，0）∪（0，3） D、（﹣3，0）∪（3，+∞）

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二、填空题

13. 已知复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|= ．

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14. 在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮4次，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮投中的概率是 $\frac{2}{3}$ ，设甲投中蓝的次数为X，则期望E（X）= ．

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15. 已知f（x）= $\frac{x}{e^{x}}$ ，定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^* ．
经计算f₁（x）= $\frac{1 - x}{e^{x}}$ ，f₂（x）= $\frac{x - 2}{e^{x}}$ ，f₃（x）= $\frac{3 - x}{e^{x}}$ ，…，照此规律，则f_n（x）= ．

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16. 甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A₁、A₂和A₃表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：
①P（B）= $\frac{1}{2}$ ；
②P（B|A₁）= $\frac{6}{11}$ ；
③事件B与事件A₁不相互独立；
④A₁ ， A₂ ， A₃是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A₁ ， A₂ ， A₃中哪一个发生有关，
其中正确结论的序号为．（把正确结论的序号都填上）

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三、解答题

17. 已知（ $x^{\frac{2}{3}}$ +3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：

(1)、展开式中二项式系数最大的项；

(2)、展开式中系数最大的项．

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18. 已知函数f（x）=﹣x³+ax在（﹣1，0）上是增函数．

(1)、求实数a的取值范围A；

(2)、当a为A中最小值时，定义数列{a_n}满足：a₁∈（﹣1，0），且2a_n+1=f（a_n），用数学归纳法证明a_n∈（﹣1，0），并判断a_n+1与a_n的大小．

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19. 3个人坐在一排6个座位上，问：

(1)、3个人都相邻的坐法有多少种？

(2)、空位都不相邻的坐法有多少种？

(3)、空位至少有2个相邻的坐法有多少种？

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20. 甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞ $\frac{1}{2}$ ），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 $\frac{5}{9}$ ．

(1)、求p的值；

(2)、设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

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21. 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：

(1)、完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；
成绩小于100分
成绩不小于100分
合计
甲班
a=
b=
50
乙班
c=24
d=26
50
合计
e=
f=
100

(2)、现从乙班50人中任意抽取3人，记ξ表示抽到测试成绩在[100，120）的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
附：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.072
2.706
3.841
5.204
6.635
7.879
10.828

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22. 设函数f（x）=e^x（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+2bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．

(1)、求函数f（x），g（x）的解析式；

(2)、若函数F（x）=f（x）+g（x）﹣2（e^x+x），试判断函数F（x）的零点个数，并说明理由；

(3)、若函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值为φ（t），解关于t的不等式φ（t）≤4e² ．

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	成绩小于100分	成绩不小于100分	合计
甲班	a=	b=	50
乙班	c=24	d=26	50
合计	e=	f=	100

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.204	6.635	7.879	10.828