2015-2016学年河南省洛阳市高二下学期期末数学试卷（理科）（A卷）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|y=lg $\frac{1 + x}{2 - x}$ }，集合B={x|y= $\sqrt{1 - x}$ }，则A∩B=（）

A、（﹣∞，﹣1） B、（﹣1，1] C、[1，2） D、（2，+∞）

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2. 复数 $\frac{2 + 3 i}{1 - i}$ 在复平面内对应的点落在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列叙述正确的个数是（）
①若a＞b，则ac²＞bc²；
②若命题p为真命题题，命题q为假命题，则p∨q为假命题；
③若命题p：∃x₀∈R，x $\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}$ ﹣x₀+1≤0，则￢p：∀x∈R，x²﹣x+1＞0．

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_n ， y_n），则下列说法中不正确的是（）

A、由样本数据得到的回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 必过样本中心（ $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ） B、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C、用相关指数R²来刻画回归效果，R²越小，说明模型的拟合效果越好 D、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣y²=1（a＞0）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、y=± $\frac{1}{2}$ x B、y=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ x C、y=± $\sqrt{2}$ x D、y=±2x

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6. 已知数列{a_n}为等差数列，a₁=1，公差d≠0，a₁、a₂、a₅成等比数列，则a₂₀₁₅的值为（）

A、4029 B、4031 C、4033 D、4035

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7. 计算： $\int \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}$ （x³﹣ $\frac{1}{x^{4}}$ ）dx=（）

A、﹣2 B、﹣ $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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8. 设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足“当f（k）≤k²成立时，总可推出f（k+1）≤（k+1）²”成立”．那么，下列命题总成立的是（）

A、若f（2）≤4成立，则当k≥1时，均有f（k）≤k²成立 B、若f（4）≤16成立，则当k≤4时，均有f（k）≤k²成立 C、若f（6）＞36成立，则当k≥7时，均有f（k）＞k²成立 D、若f（7）=50成立，则当k≤7时，均有f（k）＞k²成立

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9.
长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中AB=AA₁=2，AD=1，E为CC₁的中点，则异面直线BC₁与AE所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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10. 已知函数f（x）=x³﹣ $\frac{3}{2}$ ax² ，且关于x的方程f（x）+a=0有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣ $\sqrt{2}$ ）∪（0， $\sqrt{2}$ ） B、（﹣ $\sqrt{2}$ ，0）∪（ $\sqrt{2}$ ，+∞） C、（﹣ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ） D、（﹣∞，﹣ $\sqrt{2}$ ）∪（ $\sqrt{2}$ ，+∞）

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11. 定义点P到图形C上每一个点的距离的最小值为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A（A在圆C内且不与圆心C重合）的距离相等的点的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线的一支

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12. 定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e^xf（x）＞4+2e^x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A、（1，+∞） B、（﹣∞，0）∪（1，+∞） C、（﹣∞，0）∪（0，+∞） D、（﹣∞，1）

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二、填空题

13. 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ²），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）= ．

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14. 若实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ ，则z=4x﹣3y的最大值是．

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15. （ax+ $\frac{1}{x}$ ）•（2x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁵的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（用数字作答）

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16. 已知{a_n}，{b_n}均为等差数列，它们的前n项和分别为S_n ， T_n ，若对任意n∈N^*有 $\frac{S_{n}}{T_{n}}$ = $\frac{31 n + 101}{n + 3}$ ，则使 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 为整数的正整数n的集合为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 $\frac{\cos B}{\cos C} = - \frac{b}{2 a + c}$ ，

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{13} ， a + c = 4$ ，求△ABC的面积．

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18. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n=2a_n﹣3n，（n∈N^*）．

(1)、证明数列{a_n+3}为等比数列

(2)、求{S_n}的前n项和T_n ．

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19. 某中学校本课程开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．

(1)、求这3名学生选修课所有选法的总数；

(2)、求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；

(3)、求A选修课被这3名学生选择的人数ξ的分布列及数学期望．

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20. 在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．

(1)、求证：AB∥平面DEG；

(2)、求证：BD⊥EG；

(3)、求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．

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21. 已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q F} = \vec{F P} \cdot \vec{F Q}$ ．

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l₁ ， |DB|=l₂ ，求 $\frac{I_{1}}{I_{2}} + \frac{I_{2}}{I_{1}}$ 的最大值．

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22. 已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣ $\frac{1}{x}$ ）．

(1)、若a=1，求f（x）的单调区间；

(2)、若f（x）≥0，对任意的x≥1均成立，求实数a的取值范围；

(3)、求证：（ $\frac{2016}{2015}$ ）¹⁰⁰⁸＞ $e^{\frac{1}{2}}$ ．

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