2015-2016学年河南省鹤壁市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设a是实数，且 $\frac{1 + a i}{1 + i} \in R$ ，则实数a=（）

A、﹣1 B、1 C、2 D、﹣2

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2. 由直线x= $\frac{1}{2}$ ，x=2，曲线y= $\frac{1}{x}$ 及x轴所围成的图形的面积是（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{17}{4}$ C、 $\frac{1}{2} \ln 2$ D、2ln2

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3. 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）

A、0.6 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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4. 某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（℃）
17
13
8
2
月销售量y（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程 $\hat{y}$ =bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．

A、46 B、40 C、38 D、58

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5. 函数f（x）=2^xlog₂e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）

A、（1，3） B、（1，2） C、（0，3） D、（0，2）

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6.
如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 在（x﹣1）（x+1）⁸的展开式中x⁵的系数是（）

A、﹣14 B、14 C、﹣28 D、28

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8. 从6人中选4人分别到省内黄果树、小七孔、西江苗寨、梵净山游览，要求每个地点有一人游览，每人只游览一个地点，且在这6人中甲、乙不去西江苗寨游览，则不同的选择方案共有（）

A、300种 B、240种 C、144种 D、96种

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9.
甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示，现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）=（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{9}$

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10. 定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e^xf（x）＞e^x+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A、{x|x＞0} B、{x|x＜0} C、{x|x＜﹣1或x＞1} D、{x|x＜﹣1或0＜x＜1}

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11. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中（如图1），有AC²+BD²=2（AB²+AD²），则在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中（如图2），AC₁²+BD₁²+CA₁²+DB₁²等于（）

A、2（AB²+AD²+AA₁²） B、3（AB²+AD²+AA₁²） C、4（AB²+AD²+AA₁²） D、4（AB²+AD²）

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12. 已知定义在R上的连续函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立（g′（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x），又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有 $f (\sqrt{3} + x) = f (x - \sqrt{3})$ 成立．当 $x \in [- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ 时，f（x）=x³﹣3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²﹣a+2）对∀x∈[﹣ $\sqrt{3}$ ， $\frac{3}{2} + 2 \sqrt{3}$ ]恒成立，则a的取值范围是（）

A、a∈R B、0≤a≤1 C、 $- \frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{4} \leq a \leq - \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、a≤0或a≥1

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二、填空题

13. 已知随机变量X，Y满足，X+Y=8，且X～B（10，0.6），则D（X）+E（Y）= ．

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14. 已知点P在曲线y= $\frac{4}{e^{x} + 1}$ 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是．

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15. 若f（x）=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是．

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16. 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为a_i（i=1，2，…，6），若a₁≠1，a₃≠3，a₅≠5，a₁＜a₃＜a₅ ，则不同的排列方法有种（用数字作答）．

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三、解答题

17. 已知f（x）=（2x﹣3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，且（2x﹣3）ⁿ=a₀+a₁（x﹣1）+a₂（x﹣1）²+…+a_n（x﹣1）ⁿ

(1)、求a₂的值；

(2)、求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

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18. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

(1)、求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)、设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

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19. 已知f（n）=1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ +…+ $\frac{1}{n}$ ．经计算得f（4）＞2，f（8）＞ $\frac{5}{2}$ ，f（16）＞3，f（32）＞ $\frac{7}{2}$ ．

(1)、由上面数据，试猜想出一个一般性结论；

(2)、用数学归纳法证明你的猜想．

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20. 为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
休闲方式
性别
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80

(1)、根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？

(2)、将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X．求X的数学期望和方差．
P（X²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：X²= $\frac{n {(n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})}^{2}}{n_{1} + n_{2} + n + 1^{n} + 2}$ ．

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21. 已知向量 $\vec{m}$ =（e^x ， lnx+k）， $\vec{n}$ =（1，f（x））， $\vec{m}$ ∥ $\vec{n}$ （k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）．

(1)、求k的值及F（x）的单调区间；

(2)、已知函数g（x）=﹣x²+2ax（a为正实数），若对任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求实数a的取值范围．

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22. 已知函数f（x）= $f (x) = {\begin{matrix} \ln x - a x + 1 ， (x \geq a) \\ e^{x - 1} + (a - 2) x ， (x < a) \end{matrix}$ （a＞0）

(1)、若a=1，证明：y=f（x）在R上单调递减；

(2)、当a＞1时，讨论f（x）零点的个数．

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月平均气温x（℃）	17	13	8	2
月销售量y（件）	24	33	40	55

休闲方式性别	看电视	看书	合计
男	10	50	60
女	10	10	20
合计	20	60	80

P（X²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828