2025届四川省联合性联考二诊模拟考试数学试题

试卷更新日期：2025-02-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 已知空间中向量 $\vec{A B}$ =（0，1，0），向量 $\vec{A C}$ 的单位向量为（ $- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ），则点B到直线AC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ $(a > 0)$ 两个焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，焦距为8，M为曲线上一点， $|M F_{1}| = 5,$ 则 $| M F_{2} | =$ （）

A、1 B、1或9 C、9 D、3

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3. 若函数 $y = {\begin{array}{l} 2^{- x} - 1 ， x \leq 0 \\ x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 \end{array}$ ，当 $x = x_{0}$ 时函数值 $y > 1$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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4. 存在狄利克雷函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 0, x 为无理数 \\ 1, x 为有理数 \end{matrix}$ ，若 $x = {(\sqrt{2})}^{- 1 + y^{2}}$ ， $y \in [0, 5]$ ，则 $f (x)$ 的所有值之和为（）

A、3 B、6 C、12 D、13

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5. 已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）

A、 $2 π R^{2}$ B、 $\frac{9}{4} π R^{2}$ C、 $\frac{8}{3} π R^{2}$ D、 $\frac{3}{2} π R^{2}$

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6. 若方程 $(x^{2} - 2 x + m) (x^{2} - 2 x + n) = 0$ 的四个根组成一个首项为 $\frac{1}{4}$ 的等差数列，则 $|m - n| =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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7. 下列说法正确的个数为（）
①180的正因数有16个②以正方体为顶点的三棱锥有70个③ $55^{55}$ +9能被7整除
④投一枚质地均匀的硬币十次，正面朝上频率在 $[0.4, 0.6]$ 的概率为 $\frac{21}{32}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知长方形的四个顶点 $A (0, 0) 、 B (2, 0) 、 C (2, 1) 、 D (0, 1)$ .一质点从 $A B$ 的中点 $P_{0}$ 沿与 $A B$ 夹角为 $θ$ 的方向射到 $B C$ 上的点 $P_{1}$ 后，依次反射到 $C D 、 D A 、 A B$ 上的点 $P_{2} 、 P_{3} 、 P_{4}$ （入射角等于反射角）.设 $P_{4}$ 的坐标为 $(x_{4}, 0)$ .若 $1 < x_{4} < 2$ ，则 $\tan θ$ 的取值范围是（）.

A、 $(\frac{1}{3}, 1)$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{2}{5}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{2}{5}, \frac{2}{3})$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 我们知道一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ 可以变形为 $a_{2} (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程 $- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + a = 0$ ，则下列关于此一元三次方程的根的式子正确的是（）

A、 $x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ =2 B、 $x_{1} x_{2}$ + $x_{2} x_{3}$ + $x_{1} x_{3}$ = $\frac{3}{2}$ C、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ = $\frac{a}{2}$ D、 $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ + $x_{3}^{2}$ =7

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10. 如图所示，在四个正方体中， $l$ 是正方体的一条体对角线，点 $M, N, P$ 分别为其所在棱的中点，能得出 $l ⊥$ 平面 $M N P$ 的图形为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，向右平移3个单位得到 $g (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极小值点为 $(- 2, - e^{- 2})$ B、当 $f (x) = k$ 有两解时， $- \frac{1}{e^{2}} < k < 0$ C、若 $b = g (\frac{2}{3})$ ， $c = g (\frac{- 1}{e^{2}})$ ，则 $c > b$ D、若 $f (x) = g (x)$ ，那么 $x < 0$ ，且有且仅有一解

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{9}$ 展开式中 $x^{9}$ 的系数是

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13. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F (\sqrt{7} ， 0)$ ，直线 $y = x - 1$ 与其相交于 $M$ ， $N$ 两点， $M N$ 中点横坐标为 $- \frac{2}{3}$ ，则此双曲线的方程是.

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14. 已知 $c > 0.$ 设P：函数 $y = c^{x}$ 在R上单调递减.Q：不等式 $x + | x - 2 c | > 1$ 的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，则 $c$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 记锐角 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $a sin B = \frac{c tan B}{1 + tan B}$ .

(1)、求 $sin A$ 的值.

(2)、若 $b = \sqrt{2}$ ，求 $a$ 边上的高的取值范围.

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， D、E分别是 $C C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 的中点，点E在平面ABD上的射影是 $△ A B D$ 的重心 $G$ .
(Ⅰ)求 $A_{1} B$ 与平面ABD所成角的余弦值
(Ⅱ)求点 $A_{1}$ 到平面 $A E D$ 的距离

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17. 小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：

(1)、试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.

(2)、试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.

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18. 已知常数 $a > 0,$ 在矩形ABCD中，AB=4，BC=4 $a$ ， O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 $\frac{B E}{B C} = \frac{C F}{C D} = \frac{D G}{D A}$ ， P为GE与OF的交点（如图）.

(1)、试求P的一个坐标，并计算出P的轨迹方程.

(2)、是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

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19. 设数列 $\{b_{n}\}$ 是集合 $\{2^{t} + 2^{s} | 0 \leq s < t$ 且 $s, t \in Z\}$ 中的数从小到大排列而成，即 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 9$ ， $a_{5} = 10$ ， …，现将各数按照上小下大、左小右大的原则排成如下三角形表：
（1）写出这个三角形的第四行和第五行的数；
（2）求 $a_{100}$ ；
（3）设 $\{b_{n}\}$ 是集合 $\{2^{t} + 2^{s} + 2^{r} | 0 \leq s < t < r$ 且 $s, t, r \in Z\}$ 中的数从小到大排列而成，已知 $b_{k} = 1160$ ，求 $k$ 的值.

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