2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. （4﹣8i）i的虚部是（）

A、4 B、4i C、﹣8 D、﹣8i

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2. $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则f′（﹣2）等于（）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、﹣4 D、 $- \frac{1}{4}$

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3. 已知p：|x|≤2，q：0≤x≤2，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 已知变量x，y的值如表所示；如果y与x线性相关且回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \frac{7}{2}$ ，则实数 $\hat{b}$ =（）
x
2
3
4
y
5
4
6

A、 $\frac{1}{10}$ B、﹣ $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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5. 抛掷红、蓝两枚骰子，事件A=“红色骰子出现点数3”，事件B=“蓝色骰子出现偶数点”，则P（B|A）=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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6. 函数y=cos2x在点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 处的切线方程是（）

A、4x+2y+π=0 B、4x﹣2y+π=0 C、4x﹣2y﹣π=0 D、4x+2y﹣π=0

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7. 已知函数f（x）=﹣x³+ax²﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \sqrt{3}) \cup [\sqrt{3}, + \infty)$ B、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, + \infty)$ D、 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

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8. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）

A、1440种 B、960种 C、720种 D、480种

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9. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}$ （n∈N^*）时，由n=k到n=k+1，等式左端应增加的式子为（）

A、 $\frac{1}{k (k + 1)}$ B、 $\frac{1}{k (k + 1)} + \frac{1}{k (k + 1) (k + 2)}$ C、 $\frac{1}{k (k + 2)}$ D、 $\frac{1}{(k + 1) (k + 2)}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左支上一点M到右焦点F₂的距离为18，N是线段MF₂的中点，O是坐标原点，则|ON|等于（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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11. 已知点P在以F₁ ， F₂为焦点的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上，若 $\vec{P F_{1}}$ • $\vec{P F_{2}}$ =0，tan∠PF₁F₂= $\frac{1}{2}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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12. 直线y=a分别与曲线y=2（x+1），y=x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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二、填空题

13. 命题“∃x∈R，使得x²﹣1＜0”的否定是．

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14. （x+ $\sqrt{3}$ y）⁶的二项展开式中，x²y⁴项的系数是．

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15. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1的焦点到渐近线的距离为．

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16. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜ $\frac{1}{3}$ ，则f（x）＜ $\frac{x}{3} + \frac{2}{3}$ 的解集为．

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三、解答题

17. 命题p：∀x＞0，x+ $\frac{1}{x}$ ＞a；命题q：∃x₀∈R，x₀²﹣2ax₀+1≤0．若￢q为假命题，p∧q为假命题，则求a的取值范围．

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18. 学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：
规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”．

(1)、求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；
记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

(2)、以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，

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19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．

(1)、求证：A₁B∥平面ADC₁；

(2)、若AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值．

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20. 已知抛物线E：x²=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且 $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ =2，其中O为原点．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，证明：k₁²+k₂²﹣2k²为定值．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣ax﹣1，（a为实数），g（x）=lnx﹣x

(1)、讨论函数f（x）的单调区间；

(2)、求函数g（x）的极值；

(3)、求证：lnx＜x＜e^x（x＞0）

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22. 已知，AB为圆O的直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F．

(1)、求证：E、F、G、B四点共圆；

(2)、若GF=2FA=4，求线段AC的长．

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23. 已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），点A的极坐标为（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{π}{4}$ ），设直线l与圆C交于点P、Q．

(1)、写出圆C的直角坐标方程；

(2)、求|AP|•|AQ|的值．

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24. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|

(1)、当a=2时，解不等式f（x）≥4．

(2)、若不等式f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围．

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