2015-2016学年广西钦州市高二下学期期末数学试卷（理科）（B卷）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若复数z满足（1+i）z=2i，则z的共轭复数 $\bar{z}$ =（）

A、1﹣i B、1+i C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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2. 极坐标方程θ= $\frac{π}{6}$ （ρ∈R）表示的曲线是一条（）

A、射线 B、直线 C、垂直于极轴的直线 D、圆

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3. 已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1= $\frac{a_{n}}{1 + a_{n}}$ （n=1，2，3，…）计算该数列的前几项，猜想它的通项公式是（）

A、 $a_{n} = \frac{1}{n}$ B、a_n=n C、 $a_{n} = n^{2}$ D、 $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$

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4. 3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）

A、5³ B、3⁵ C、A₅³ D、C₅³

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5. 在 ${(\frac{x}{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中的常数项是（）

A、7 B、﹣7 C、28 D、﹣28

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6. “因为偶函数的图象关于y轴对称，而函数f（x）=x²+x是偶函数，所以f（x）=x²+x的图象关于y轴对称”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、大前提与推理形式都错误

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7. 某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关，他收集了3月份本班同学的感冒数据，并制出下面一个2×2列联表：
感冒
不感冒
合计
男生
5
27
32
女生
9
19
28
合计
13
47
60
参考数据
P（K²≥2.072）≈0.15
P（K²≥2.706）≈0.10
P（K²≥6.635）≈0.010
由K²的观测值公式，可求得k=2.278，根据给出表格信息和参考数据，下面判断正确的是（）

A、在犯错概率不超过1%的前提下认为该班“感冒与性别有关” B、在犯错概率不超过1%的前提下不能认为该班“感冒与性别有关” C、有15%的把握认为该班“感冒与性别有关” D、在犯错概率不超过10%的前提下认为该班“感冒与性别有关”

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8.
已知函数f（x）的导函数f′（x）是二次函数，如图是f′（x）的大致图象，若f（x）的极大值与极小值的和等于 $\frac{2}{3}$ ，则f（0）的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 设两个正态分布 $N (μ_{1} ， σ_{1}^{2}) (σ_{1} > 0)$ 和 $N (μ_{2} ， σ_{2}^{2}) (σ_{2} > 0)$ 的密度曲线如图所示，则有（）

A、μ₁＜μ₂ ， σ₁＜σ₂ B、μ₁＜μ₂ ， σ₁＞σ₂ C、μ₁＞μ₂ ， σ₁＜σ₂ D、μ₁＞μ₂ ， σ₁＞σ₂

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10. 某同学投篮第一次命中的概率是0.75，连续两次投篮命中的概率是0.6，已知该同学第一次投篮命中，则其随后第二次投篮命中的概率是（）

A、0.45 B、0.6 C、0.75 D、0.8

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11. 从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有（）

A、64个 B、72个 C、84个 D、96个

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12. 设随机变量ξ的取值为0，1，2．若P（ξ=0）= $\frac{1}{5}$ ，E（ξ）=1，则D（ξ）=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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二、填空题

13. 在函数y=xlnx的图象上的点A（1，0）处的切线方程是．

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14. 如图，类比三角形中位线定理“如果EF是三角形的中位线，则EF $\underline{\underline{| |}} \frac{1}{2}$ AB．”，在空间四面体（三棱锥）P﹣ABC中，“如果，则”．

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15. 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的统计数据如表，
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
据此，我们得到y关于年份代号x的线性回归方程： $\hat{y}$ =0.5 $\hat{x}$ +2.3，则预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入等于．

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16. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} (- 1 \geq x \leq 0) \\ \sqrt{1 - x^{2}} (0 ≺ x \leq 1) \end{matrix}$ ，则 $\int_{- 1}^{1}$ f（x）dx= ．

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三、解答题

17. 设m∈R，复数（m²﹣5m+6）+（m²﹣3m）i是纯虚数．

(1)、求m的值；

(2)、若﹣2+mi是方程x²+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．

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18. 已知a=﹣2 $\int_{0}^{π}$ sin（x+ $\frac{π}{3}$ ）dx，求二项式（x²+ $\frac{a}{x}$ ）⁵的展开式中x的系数及展开式中各项系数之和．

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19. 已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$ ）= $\sqrt{2}$ ．

(1)、在极坐标系下写出θ=0和θ= $\frac{π}{2}$ 时该直线上的两点的极坐标，并画出该直线；

(2)、已知Q是曲线ρ=1上的任意一点，求点Q到直线l的最短距离及此时Q的极坐标．

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20.
某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

(1)、求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；

(2)、从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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21. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=﹣ $\frac{2}{3}$ ，S_n+ $\frac{1}{S_{n}}$ =a_n﹣2（n≥2，n∈N）

(1)、求S₂ ， S₃ ， S₄的值；

(2)、猜想S_n的表达式；并用数学归纳法加以证明．

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22. 函数f（x）= $\frac{a}{x}$ +lnx，其中a为实常数．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

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年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号x	1	2	3	4	5	6	7
y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

	感冒	不感冒	合计
男生	5	27	32
女生	9	19	28
合计	13	47	60