2015-2016学年广西南宁市马山县高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 全称命题：∀x∈R，x²+5x=4的否定是（）

A、∃x∈R，x²+5x=4 B、∀x∈R，x²+5x≠4 C、∃x∈R，x²+5x≠4 D、以上都不正确

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2. i是虚数单位，复数 $\frac{2 i}{1 - i}$ 等于（）

A、﹣1﹣i B、﹣1+i C、1﹣i D、1+i

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25}$ + $\frac{y^{2}}{169}$ =1的焦点坐标是（）

A、（±5，0） B、（0，±5） C、（0，±12） D、（±12，0）

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4. 函数f（x）=x³﹣3x²+1是减函数的区间为（）

A、（2，+∞） B、（﹣∞，2） C、（﹣∞，0） D、（0，2）

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 曲线y=x³﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）

A、y=x﹣1 B、y=﹣x+1 C、y=2x﹣2 D、y=﹣2x+2

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7. 已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3| $\vec{A C}$ |=| $\vec{A B}$ |，则点C的坐标是（）

A、 $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ B、 $(\frac{3}{8}, - 3, 2)$ C、 $(\frac{10}{3}, - 1, \frac{7}{3})$ D、 $(\frac{5}{2}, - \frac{7}{2}, \frac{3}{2})$

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8. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）

A、2个 B、1个 C、3个 D、4个

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9. 若向量 $\vec{a}$ =（1，x，0）， $\vec{b}$ =（2，﹣1，2）， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则x等于（）

A、﹣1 B、1 C、1或7 D、﹣1或﹣7

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10. 若 $\int_{1}^{a}$ （2x+ $\frac{1}{x}$ ）dx=3+ln2，则a的值是（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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11. 由y= $\frac{1}{x}$ ，x轴及x=1，x=2围成的图形的面积为（）

A、ln2 B、lg2 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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12. 如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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二、填空题

13. 设复数z满足 $\frac{1 + 2 i}{z} = i$ ，则z= ．

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14. 抛物线y²=﹣8x的焦点坐标是．

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15. 曲线y=x³在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为．

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16. 用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + ... + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N^{+})$ 时，第一步验证n=1时，左边应取的项是

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三、解答题

17. 已知z∈C， $\bar{z}$ 表示z的共轭复数，若z• $\bar{z}$ +i•z= $\frac{10}{3 + i}$ ，求复数z．

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18. 在棱长为1的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E为棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F．

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19. 设函数y=4x³+ax²+bx+5在x= $\frac{3}{2}$ 与x=﹣1时有极值．

(1)、写出函数的解析式；

(2)、指出函数的单调区间．

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20. 已知函数f（x）=x²﹣2ax+b在x=1处有极值2．求函数f（x）=x²﹣2ax+b在闭区间[0，3]上的最值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其中左焦点F（﹣2，0）．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x²+y²=1上，求m的值．

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22. 已知a∈R，函数f（x）=（﹣x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．

(1)、当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；

(2)、若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．

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