2015-2016学年广东省肇庆市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设i是虚数单位，则复数 $\frac{2 i}{1 - i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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3. 定积分 $\int_{0}^{1}$ （2x+e^x）dx的值为（）

A、e+2 B、e+1 C、e D、e﹣1

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4. 已知p是q的充分不必要条件，则￢q是￢p的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也必要条件

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5. 已知随机变量x服从正态分布N（3，σ²），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）

A、0.84 B、0.68 C、0.32 D、0.16

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6. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A、函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B、函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1） C、函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2） D、函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）

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7. 如果复数z= $\frac{3 - b i}{2 + i}$ （b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）

A、3 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、3 D、2

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8. 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）

A、12种 B、18种 C、24种 D、36种

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9. 通过随机询问11名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
参照附表，得到的正确结论是（）

A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

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10. 下列四个结论正确的是（）
①若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；
②命题“∃x₀∈R，x₀²﹣x₀﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x²﹣x﹣1≥0”；
③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；
④当α＜0时，幂函数y=x^α在区间（0，+∞）上单调递减．

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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11. （x²+x+y）⁵的展开式中，x⁵y²的系数为（　　）

A、10 B、20 C、30 D、60

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12. 若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）

A、 $f (\frac{1}{k}) > \frac{1}{k}$ B、 $f (\frac{1}{k}) > \frac{1}{k - 1}$ C、 $f (\frac{1}{k - 1}) > \frac{1}{k - 1}$ D、 $f (\frac{1}{k - 1}) > \frac{k}{k - 1}$

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二、填空题

13. （x+a）¹⁰的展开式中，x⁷的系数为15，则a= ．

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14. 6粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑2粒，每粒种子发芽的概率为0.5，如果一个坑内至少有1粒种子发芽，那么这个坑不需要补种，则3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率为（用数字作答）．

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15. 已知函数f（x）=2lnx+bx，直线y=2x﹣2与曲线y=f（x）相切，则b= ．

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16. 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
t
70
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}$ =6.5x+17.5，则表中t的值为．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos θ \\ y = 2 + \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．

(1)、求C₁和C₂在直角坐标系下的普通方程；

(2)、已知直线l：y=x和曲线C₁交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．

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18. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：
价格x（元/kg）
10
15
20
25
30
日需求量y（kg）
11
10
8
6
5

(1)、求y关于x的线性回归方程；

(2)、当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？

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19. 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)、求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)、已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）

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20. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC=CC₁ ，设AB₁的中点为D，B₁C∩BC₁=E．
求证：

(1)、DE∥平面AA₁C₁C；

(2)、BC₁⊥AB₁ ．

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21. 已知函数f（x）=e^x+2ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．

(1)、求a的值及函数f（x）的极值；

(2)、证明：当x＞0时，x²+1＜e^x ．

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22. 设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．

(1)、若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、设n∈N^* ，证明： $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ +…+ $\frac{1}{n + 1}$ ＜ln（n+1）．

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	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

价格x（元/kg）	10	15	20	25	30
日需求量y（kg）	11	10	8	6	5