2015-2016学年广东省韶关市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设集合M={﹣1，1}，N={x|x（x﹣ $\frac{1}{2}$ ）＞0}，则下列结论正确的是（）

A、N⊆M B、N∩M=∅ C、M⊆N D、M∪N=R

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2. 化简sin²75°﹣cos²75°的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）

A、32 B、42 C、52 D、63

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4. 设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）

A、若l⊥β，则α⊥β B、若α⊥β，则l⊥m C、若l∥β，则α∥β D、若α∥β，则l∥m

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5. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 $\overset{⌢}{y}$ = $\overset{⌢}{b}$ x+ $\overset{⌢}{a}$ 中的 $\overset{⌢}{b}$ 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）

A、63.6万元 B、67.7万元 C、65.5万元 D、72.0万元

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6. 已知| $\vec{a}$ |= $\sqrt{5}$ ， $\vec{b}$ =（1，2），且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 的坐标为（）

A、（﹣2，﹣1）或（2，1） B、（﹣6，3） C、（1，2） D、（2，﹣1）或（﹣2，1）

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7. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A、12π B、45π C、57π D、81π

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8. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 1 \leq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x+y﹣1的最大值为（）

A、3 B、﹣1 C、1 D、2

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9. 设f（x）=e^2x ，若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，则g（x）=（）

A、2lnx B、 $\frac{1}{2}$ lnx C、ln（2x） D、ln（ $\frac{1}{2}$ x）

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10. 已知a、b、c是△ABC的三个内角A、B、C对应的边，若a=2，b=2 $\sqrt{2}$ ，sinB+cosB= $\sqrt{2}$ ，则角A的大小为（）

A、 $\frac{1}{3}$ π B、 $\frac{1}{6}$ π C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$ π或 $\frac{5 π}{6}$

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若 $\vec{O P}$ =λ $\vec{O A}$ +μ $\vec{O B}$ （λ，μ∈R），λμ= $\frac{3}{16}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{9}{8}$

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12. 已知函数f（x）的导函数f'（x）满足2f（x）+xf′（x）＞x²（x∈R），则对∀x∈R都有（）

A、x²f（x）≥0 B、x²f（x）≤0 C、x²[f（x）﹣1]≥0 D、x²[f（x）﹣1]≤0

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二、填空题

13. 复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z|= ．

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14. 二项式（x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁸的展开式x⁶的系数为．

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15. 已知函数f（x）=ax³+x+b是奇函数，且f（x）图象在点（1，f（1））的处的切线过点（2，6），则 a+b= ．

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16. 已知圆C₁：（x﹣1）²+（y﹣3）²=1，圆C₂：（x﹣6）²+（y﹣1）²=1，M，N分别是圆C₁ ， C₂上的动点，P为直线x﹣y﹣2=0上的动点，则||PM|﹣|PN||的最大值为．

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三、解答题

17. 已知函数f（x）=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）﹣ $\sqrt{3}$ cos（2x+ $\frac{π}{3}$ ）．

(1)、数的单调增区间；

(2)、若f（α）= $\frac{6}{5}$ ，α∈（0， $\frac{π}{4}$ ），求cosα的值．

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18. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂﹣a₁=6，9a₃²=a₂a₆ ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n ，数列{ $\frac{1}{b_{n}}$ }的前n项和T_n ，求证：T_n＜2．

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19. 某厂为了解甲、乙两条生产线生产的产品的质量，从两条生产线生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．如图是测量数据的茎叶图：
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品．

(1)、根据样本数据，计算甲、乙两条生产线产品质量的均值与方差，并说明哪条生产线的产品的质量相对稳定；

(2)、从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．

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20. 如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD中点．

(1)、求证：C₁D∥平面AB₁E；

(2)、求证：BC₁⊥B₁E；

(3)、若AB= $\sqrt{2}$ ，求二面角E﹣AB₁﹣B的正切值．

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21. 已知椭圆Γ： $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点：

(1)、求椭圆Г的方程：

(2)、设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证： $\frac{1}{O A^{2}}$ + $\frac{1}{O B^{2}}$ 为定值：

(3)、设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d（0＜d＜2），求动点D的轨迹方程：

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22. 设函数f（x）=x²+aln（x+1）．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、若函数F（x）=f（x）+ln $\sqrt{2}$ 有两个极值点x₁ ， x₂且x₁＜x₂ ，求证F（x₂）＞ $\frac{1}{4}$ ．

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广告费用x（万元）	4	2	3	5
销售额y（万元）	49	26	39	54