浙江省杭州市西湖区紫金港中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试题试卷

试卷更新日期：2025-03-05 类型：开学考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.

1. 下列各数是负整数的是（）

A、 $- π$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、 $- (- 2)$

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2. 2024 年 4 月神舟十八号载人飞船发射成功，标志着我国在航天领域的加速发展. 下列各航天标志中，属于中心对称图形的是 ( )

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$

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4. 在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字 $- \sqrt{2}$ ， $\sqrt{8}$ ， 0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（）

A、主视图 B、左视图 C、俯视图 D、主视图和左视图

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6. 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.求男生有多少人？设男生有 $x$ 人，则可列方程为（）

A、 $2 x + 3 (20 - x) = 52$ B、 $3 x + 2 (20 - x) = 52$ C、 $2 x + 3 (52 - x) = 20$ D、 $3 x + 2 (52 - x) = 20$

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7. 下列说法正确的是 ( )

A、对角线相等的四边形是矩形 B、一组对角相等的四边形是平行四边形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，有一点 $A (- 3, 4)$ ，以原点为圆心，5为半径作 $⊙ O$ ，则点 $A$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点A在 $⊙ O$ 内 B、点A在 $⊙ O$ 外 C、点A在 $⊙ O$ 上 D、无法确定

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9. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 $45 °$ ”时，首先应假设这个直角三角形中（）

A、两个锐角都大于 $45 °$ B、两个锐角都小于 $45 °$ C、两个锐角都不大于 $45 °$ D、两个锐角都等于 $45 °$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a > 0$ ）的图象过点 $(1, m), (2, c), (3, n)$ （）

A、若 $c - m > 1$ ，则 $n - m > 4$ B、若 $c - m > 1$ ，则 $n - m < 3$ C、若 $c - m < 1$ ，则 $n - m < 5$ D、若 $c - m < 1$ ，则 $n - m > 3$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

11. 要使二次根式 $\sqrt{1 + x}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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12. 分解因式： $m^{3} - m =$ ．

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13. 已知 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ ，是二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a x + b y = 7, \\ a x - b y = 1 \end{matrix}$ 的解，则 $6 a - b$ 的值为．

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14. 如图， $A D / / B C, ∠ B = 3 2^{°}$ ，以点 $D$ 为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点 $M$ ，交BD于点 $N$ ．再以点 $N$ 为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点 $E$ ，连接DE．则 $∠ A D E =$ 度．

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15. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝．

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16. 如图，AB为半圆直径，AB=2，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线AC对称，连结AD交 $\overset{⌢}{A C}$ 于点 $E$ ，连结CE．设BC=x，AE=y，则y关于x的函数关系式为.

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三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 计算：

(1)、 $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{6}$ ；

(2)、 $(3 - \sqrt{5})^{2} + \sqrt{20} + 5 \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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18.

(1)、解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 8 \\ x - y = 1 \end{array}$ ；

(2)、计算： $\frac{a + 3 b}{a + b} + \frac{a - b}{a + b}$ .

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19. 随机抽取某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．

(1)、该组数据中，中位数所在组的频数是多少？请写出该组的边界值．

(2)、若该校七年级总共有360名学生，那么跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有多少人？

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20. 如图，长方形ABCD中， $A D > A B$ .

(1)、请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在BC边上取一点 $E$ ，使 $A E = B C$ ；
②在CD上作一点 $F$ ，使点 $F$ 到点 $D$ 和点 $E$ 的距离相等.

(2)、在（1）的条件下，连接AF.若 $A B = 6, A D = 10$ ，求 $△ A D F$ 的面积.

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21. 一次函数 $y = k x + b (k, b$ 为常数，且 $k \neq 0)$ 图象和反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1, n)$ 和点 $B (- 2, - 2)$ .

(1)、求 $n$ 的值及一次函数的表达式.

(2)、点 $C$ 为反比例函数图象上一点，点 $C$ 关于 $y$ 轴的对称点再向下平移4个单位得到点 $D$ ，点 $D$ 恰好落在反比例函数图象上，求点 $C$ 的坐标.

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22. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 2 \sqrt{2}, E$ 为对角线AC上一动点，连接DE ，过点 $E$ 作 $E F ⊥$ DE ，交射线BC于点 $F$ ，以DE ， EF为邻边作矩形DEFG ，连接CG.

(1)、求证：矩形DEFG是正方形.

(2)、探究： $C E + C G$ 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

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23. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + (a - 3) x - 3$ 经过点 $A (3, t)$ ， $B (m, p)$ .

(1)、若 $t = 0$ ，
①求此抛物线的对称轴；
②当 $p \geq t$ 时，直接写出 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $t > 0$ ，点 $C (n, q)$ 在该抛物线上， $m > n$ 且 $m + n > 2$ ，请比较 $p$ ， $q$ 的大小，并说明理由.

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24. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，以 $A B$ 为直径作半圆 $O$ ，点 $P$ 为半圆上一点，连结 $A P$ 并延长交 $B C$ 边于点 $E$ ，连结 $B P$ 并延长交 $C D$ 边于点 $F$ ，连结 $C P$ ．

(1)、求证： $A E = B F$ ；

(2)、当 $A B = 1$ 时，求 $C P$ 的最小值；

(3)、若 $C P = C F$ ，求 $B E : B C$ 的值．

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