广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-23 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ， $B = {x | 2 x - 1 < 3}$ ，则 $A ∩$ $(∁_{U} B)$ =（）

A、 $[2, 3)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- \infty, 2)$

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2. 下列命题中真命题的个数是（）
①命题“ $\forall x \in R$ ， $| x | + x^{2} \geq 0$ ”的否定为“ $\exists x \in R$ ， $| x | + x^{2} < 0$ ”；
②“ $a^{2} + {(b - 1)}^{2} = 0$ ”是“ $a (b - 1) = 0$ ”的充要条件；
③集合 $A = {y | y = \sqrt{x^{2} + 1}}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x^{2} + 1}}$ 表示同一集合．

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 已知 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{1 + 3 i}{1 - 2 i} =$ （）.

A、 $- 2 - 3 i$ B、 $- 1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $3 + 2 i$

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4. 函数 $f (x) = \sqrt{3 x - 2} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、{ $x | x > \frac{2}{3}$ 且 $x \neq 2$ } B、{ $x | x < \frac{2}{3}$ 且 $x > 2$ } C、 ${x | \frac{2}{3} \leq x \leq 2}$ D、{ $x | x \geq \frac{2}{3}$ 且 $x \neq 2$ }

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5. 已知 $a (3 - a) > 0$ ，那么 $\frac{1}{a} + \frac{1}{3 - a}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 已知 $a = 3^{0.7}$ ， $b = 0 . 7^{3}$ ， $c = l o g_{3} 0.7$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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7. 若角 $θ$ 的终边经过点 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} + θ) + \cos (π - θ) + \tan (2 π - θ) =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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8. 已知 $△ A B C$ 内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是 $a 、 b 、 c$ ，若 $c = 2 \sqrt{3} b$ ， $s i n^{2} A - s i n^{2} B = \sqrt{3} s i n B s i n C$ ，则 $A$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m = \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = 2$ C、与 $\vec{b}$ 方向相反的单位向量的坐标为 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、若 $m > - 2$ 时，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为锐角

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10. 设△ABC的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则△ABC为钝角三角形 C、若 $a = 10$ ， $c = 8$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则符合条件的△ABC有两个 D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形

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11. 关于函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{3}, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、将 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再把图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的函数为 $g (x) = - 2 c o s x$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分.

12. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ .

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13. 已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{^{'}} B^{^{'}} = 4, B^{^{'}} C^{^{'}} = 2$ ，则四边形ABCD的面积为.

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14. 已知圆锥的侧面积为 $12 π$ ，它的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则此圆锥的体积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x - n < 0$ 的解集为 $\{x| - 2 < x < 1\}$ .

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{m}{a} + \frac{n}{b} = 2$ ，求 $m a + n b$ 的最小值.

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c o s C = \frac{1}{8}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求边 $c$ 的值和 $s i n A$ 的值；

(3)、求 $c o s (2 A - \frac{π}{3})$ 的值．

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17. 某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的高是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 高的 $\frac{1}{2}$ ，且底面正方形 $A B C D$ 的边长为4， $A A_{1} = 2$ ．
（1）求 $A C_{1}$ 的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．

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18. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 1$ ，且 $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ ， $g (x)$ 为偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $g (x) = f (x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在给定的坐标系内画出 $g (x)$ 的图象；

(3)、讨论函数 $h (x) = g (x) - t$ （ $t \in R$ ）的零点个数．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = A C = 2, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值；

(3)、求 $∠ E P F$ 的余弦值．

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