2015-2016学年广东省茂名市信宜市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 命题：“若x²＞1，则x＜﹣1或x＞1”的逆否命题是（）

A、若x²＞1，则﹣1≤x≤1 B、若﹣1≤x≤1，则x²≤1 C、若﹣1＜x＜1，则x²＜1 D、若x＜﹣1或x＞1，则x²＞1

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2. 已知复数z= $\frac{3 - i}{1 - i}$ ，则|z|=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 5} = \frac{y^{2}}{4 - m^{2}}$ =1的焦距是（）

A、4 B、2 $\sqrt{5}$ C、6 D、与m有关

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4. 在空间，下列命题错误的是（）

A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行 C、平行于同一平面的两个平面平行 D、平行于同一直线的两个平面平行

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5. 设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 一个长方体的长、宽、高分别为2、1、1，其顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（）

A、3π B、6π C、12π D、24π

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7. 直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F₁和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 已知圆心为点C（4，7），并且在直线3x﹣4y+1=0上截得的弦长为8的圆的方程为（）

A、（x﹣4）²+（y﹣7）²=5 B、（x﹣4）²+（y﹣7）²=25 C、（x﹣7）²+（y﹣4）²=5 D、（x﹣7）²+（y﹣4）²=25

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9. 设p：（3x²+ln3）′=6x+3；q：（3﹣x²）e^x的单调增区间是（﹣3，1），则下列复合命题的真假是（）

A、“p∨q”假 B、“p∧q”真 C、“￢q”真 D、p∨q真

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10. 曲线y= $\sqrt{x}$ 与直线y=2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、4 D、 $\frac{4}{3}$

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12. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（　　）

A、360 B、520 C、600 D、720

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二、填空题

13. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），若p（ξ＞3）=0.023，则p（﹣1≤ξ≤3）等于．

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14. （1+x）（1﹣x）⁵展开式中x⁴的系数是（用数字作答）．

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15. 已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若 $\vec{P F}$ =4 $\vec{Q F}$ ，则|QF|= ．

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16. 若甲、乙、丙三人在一次数学测验中的成绩各不相同，且满足：
（1）如果乙的成绩不是最高，那么甲的成绩最低；
（2）如果丙的成绩不是最低，那么甲的成绩最高．
如此判断，三人中成绩最低的应该是．

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三、解答题

17. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin²B=2sinAsinC．

(1)、若a=b，求cosB的值；

(2)、若B=60°，△ABC的面积为4 $\sqrt{3}$ ，求b的值．

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18. 某市举办校园足球赛，组委会为了做好服务工作，招募了12名男志愿者和10名女志愿者，调查发现男女志愿者中分别有8人和4人喜欢看足球比赛，其余不喜欢

(1)、根据以上数据完成以下2×2列联表：
喜欢看足球比赛
不喜欢看足球比赛
总计
男
女
总计

(2)、根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜欢看足球比赛有关？

(3)、从女志愿者中抽取2人参加某场足球比赛服务工作，若其中喜欢看足球比赛的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
附：参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d
参考数据：
P（K²≥k₀）
0.4
0.25
0.10
0.010
k₀
0.708
1.323
2.706
6.635

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD= $\sqrt{3}$ ，F是PB中点，E为BC上一点．

(1)、求证：AF⊥平面PBC；

(2)、当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．

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20. 已知直线 $\sqrt{3}$ x+y﹣ $\sqrt{3}$ =0经过椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若∠AOB为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．

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21. 已知f（x）=xlnx，g（x）= $\frac{a x^{2}}{2}$ ，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2

(1)、函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值

(2)、若至少存在一个x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围

(3)、设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．

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22. 如图，△ABC的顶点都在圆O上，点P在BC的延长线上，且PA与圆O切于点A．

(1)、若∠ACB=70°，求∠BAP的度数；

(2)、若 $\frac{A C}{A B}$ = $\frac{2}{5}$ ，求 $\frac{P C}{P B}$ 的值．

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23. 在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 t + 1 \\ y = 4 t + 3 \end{matrix}$ （t为参数）．

(1)、求圆C的标准方程和直线l的普通方程；

(2)、若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．

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24. 已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．

(1)、当a=2时，解不等式f（x）≤﹣ $\frac{1}{2}$ ；

(2)、若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．

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	喜欢看足球比赛	不喜欢看足球比赛	总计
男
女
总计

P（K²≥k₀）	0.4	0.25	0.10	0.010
k₀	0.708	1.323	2.706	6.635