广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-22 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {- 2, 1}$ ， $B = {1, 3}$ ，则 $A ∪ B =$ ( )

A、 ${- 2, 1, 3}$ B、 ${1}$ C、 ${- 2, 3}$ D、 $\emptyset$

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2. 设 $z \in C$ ，在复平面内z对应的点为Z ，若 $1 \leq | z | \leq 4$ ，则点Z所在区域的面积为( )

A、15π B、6π C、3π D、2π

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3. 已知 $P (A B) = \frac{3}{11}$ ， $P (A) = \frac{2}{5}$ ，则 $P (B | A) =$ ( )

A、 $\frac{13}{22}$ B、 $\frac{6}{11}$ C、 $\frac{15}{22}$ D、 $\frac{10}{11}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $\frac{a}{b} = \sqrt{3}$ ， $\frac{c}{b} =$ ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 若直线 $l : y = k x + b$ 与单位圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 交于A ， B两个不同的点，则 $b = \sqrt{\frac{k^{2} + 1}{2}}$ 是 $O A ⊥ O B$ 的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（）

A、36种 B、48种 C、60种 D、72种

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7. 若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，右焦点为 $F$ ，点E的坐标为 $(\frac{b}{a}, \frac{c}{b})$ ，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、不确定

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8. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 6 n - 5 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{15} =$ （）

A、 $4^{15} - 15$ B、 $2^{15} - 29$ C、 $2^{15} - 15$ D、 $4^{15} - 29$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）

A、讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5% B、讲座后问卷答题的正确率的众数为85% C、讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差 D、讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

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10. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图，若 $f (x)$ 的相邻两个零点间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的零点形成的集合为 ${x | x = k π - \frac{π}{12}} (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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11. 定义域为R的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 是奇函数， $f (\frac{π}{2}) = 1$ ， $f^{'} (\frac{π}{2}) = 0$ ，且 $\forall x$ ， $y \in R$ ， $f (x + y) = f (x) f^{'} (y) + f^{'} (x) f (y)$ ，则( )

A、 $f (0) = 1$ B、 $f' (0) = 1$ C、 $f (2 x) = 2 f (x) f^{'} (x)$ D、 $f (x + 2 π) = f (x)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\vec{a} = (x - 2, 2 x - 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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13. 小明喜爱踢足球和打羽毛球.在周末的某天，他下午去踢足球的概率为 $\frac{3}{5}$ .若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为 $\frac{1}{6}$ .已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为.

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14. 已知侧棱长为l的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上，则该正四棱锥的体积的最大值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a - a^{2} \leq f (x)$ 在 $[- 3, 2]$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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16. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1} = 4$ ， O为AB的中点，D为 $A_{1} O$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} O C$ 夹角的余弦值．

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17. A ， B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜，打成平局和失败分别记 $m + 3$ 分，m分和0分.比赛两局，已知在每局比赛中A获胜，打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2.各局的比赛结果相互独立.

(1)、若 $m = 2$ ，求A两局得分之和为5的概率；

(2)、若 $m = 3$ ，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列.

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18. 已知抛物线C的方程为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $x = \frac{p}{2}$ 与C交于A ， B两点，且 $| A B | = 4$ .

(1)、求p；

(2)、设C的焦点为F ，直线 $l : x = m y + n$ 与C交于M ， N两点，且以MN为直径的圆经过F ，当 $1 \leq n \leq 9$ 时，求点F到l距离的取值范围.

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19. 设等比数列： $a, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{s}, b, q_{1}, q_{2}, \dots, q_{t}, c$ 的公比为q，其中 $s, t$ 都为正奇数， $a, b, c$ 构成单调递增的正项等差数列．

(1)、求证： $|q| > 1$ ；

(2)、求证： $s > t$ ；

(3)、把 $p_{1} p_{2} \dots p_{s} q_{1} q_{2} \dots q_{t}$ 用 $a, c, s, t$ 表示．

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