2025年湖南省初中学业水平考试数学模拟卷(一)

试卷更新日期：2024-12-26 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 如果向东走10m记作 $+ 10 m$ ，那么向西走 $8 m$ 记作（）

A、 $- 10 m$ B、 $+ 10 m$ C、 $- 8 m$ D、 $+ 8 m$

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2. 祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（）

A、0.1665×10⁷ B、1.665×10⁶ C、16.65×10⁵ D、166.5×10⁴

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3. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = 2 a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a (a + 1) = a^{2} + a$

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5. 计算 $(\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}}) \times \sqrt{2}$ 的结果为（）

A、 $\sqrt{17}$ B、17 C、5 D、 $\sqrt{5}$

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6. 如图，锐角三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D，E分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，连接 $B E$ ， $C D$ ．下列命题中，假命题是（）．

A、若 $C D = B E$ ，则 $∠ D C B = ∠ E B C$ B、若 $∠ D C B = ∠ E B C$ ，则 $C D = B E$ C、若 $B D = C E$ ，则 $∠ D C B = ∠ E B C$ D、若 $∠ D C B = ∠ E B C$ ，则 $B D = C E$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O C ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，点 $D$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $B D$ ， $C D$ ．若 $∠ D = 28 °$ ，则 $∠ O A B$ 的度数为（　　）

A、 $28 °$ B、 $34 °$ C、 $56 °$ D、 $62 °$

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8. 6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（）

A、5，4 B、6，5 C、6，7 D、7，7

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A C$ 为对角线， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点E，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点F．则下列结论中错误的是（）

A、 $∠ B C A = 30 °$ B、 $E C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $S_{△}_{A D E} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $D F = \frac{\sqrt{21}}{5}$

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10. 定义：如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　）

A、方程有两个相等的实数根 B、方程有一根等于0 C、方程两根之和等于0 D、方程两根之积等于0

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．

11. 计算： $- (- 5) - 2^{2} + \sqrt{16} - {(- 1)}^{2025} =$ ．

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12. 某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮 $30 s$ ，黄灯亮 $5 s$ ，红灯亮 $25 s$ 循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是．

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13. 分式方程 $\frac{1}{x + 2} + 1 = \frac{2 x}{x + 2}$ 的解为．

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14. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm ，则这个等腰三角形的周长是cm ．

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15. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的值可以是.（写出一个即可）

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16. 一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是．

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17. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ，分别以点 $A$ ，点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 为半径画弧，两弧分别交于点 $M$ 和点 $N$ ，连接 $M N$ ，直线 $M N$ 与 $A C$ 交于点 $D$ ，连接 $B D$ ，则 $∠ D B C$ 的度数为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， E是边 $A B$ 上一点，连接 $C E$ ，在 $B C$ 右侧作 $B F ∥ A C$ ，且 $B F = A E$ ，连接 $C F$ ．若 $A C = 13$ ， $B C = 10$ ，则四边形 $E B F C$ 的面积为．

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三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19. 计算： $2 \sin 30 ° + \sqrt{12} + |- 5| - {(π + 3)}^{0}$ ．

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20. 先化简，再求值： $(1 + \frac{3}{x - 3}) \div \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，其中 $x = - 2$ .

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21. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩 $x$ 均为不小于60的整数，分为四个等级：D： $60 \leq x < 70$ ， C： $70 \leq x < 80$ ， B： $80 \leq x < 90$ ， A： $90 \leq x \leq 100$ ），部分信息如下：
信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求所抽取的学生成组为C等级的人数；

(2)、求所抽取的学生成绩的中位数；

(3)、该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 $A E C F$ 为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形 $A E C F$ 为平行四边形．

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23. 2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．

(1)、分别求出A，B两款纪念品的进货单价；

(2)、该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？

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24. 武威市某校学生开展测量南城门楼高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表：

活动课题	测量南城门楼高度
活动目的	运用三角函数知识解决实际问题
活动工具	测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图
测量步骤	（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为 $39 °$ ；（2）前进了14米到达A处（点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为 $56 °$ ．
测量数据	$∠ P B O = 39 °$ ， $∠ P A O = 56 °$ ， $A B = 14$ 米
参考数据	$\sin 39 ° \approx 0.6$ ， $\cos 39 ° \approx 0.8$ ， $\tan 39 ° \approx 0.8$ ， $\sin 56 ° \approx 0.8$ ， $\cos 56 ° \approx 0.6$ ， $\tan 56 ° \approx 1.5$ ．

根据上表中的测量方案及其数据，计算城楼的高度（结果保留整数）．

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是抛物线上一动点，且在直线 $B C$ 的上方．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、如图1，过点 $P$ 作 $P D ⊥ x$ 轴，交直线 $B C$ 于点 $E$ ，若 $P E = 2 E D$ ，求点 $P$ 的坐标．

(3)、如图2，连接 $A C 、 P C 、 A P$ ， $A P$ 与 $B C$ 交于点 $G$ ，过点 $P$ 作 $P F ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $F$ ．记 $△ A C G$ 、 $△ P C G$ 、 $△ P G F$ 的面积分别为 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3}$ ．当 $\frac{S_{3}}{S_{2}} + \frac{S_{2}}{S_{1}}$ 取得最大值时，求 $sin ∠ B C P$ 的值．

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26. 【感知】如图①， $⊙ O$ 为等边三角形 $A B C$ 的外接圆． $A D$ 为 $⊙ O$ 的直径，线段 $A D$ 与 $B C$ 交于点 $E$ ，探究线段 $A E$ ， $B D$ ， $D E$ 的数量关系．
小明同学的做法：过点 $C$ 作 $B D$ 的垂线交 $B D$ 延长线于点 $F$ ，连接 $C D$ ．易证 $A D ⊥ B C$ ．进而得出 $△ B C F ≌ △ A C E$ ， $△ C D E ≌ △ C D F$ ．则线段 $A E$ ， $B D$ ， $D E$ 的数量关系是 $B D + D E = A E$ ；
【探究】如图②，等腰三角形 $A B C$ 中． $A C = B C$ ， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $D$ 为弧 $B C$ 上一点， $C E ⊥ A D$ 于点 $E$ ，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是直径， $A C = B C$ ．点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，且点 $D$ 与点 $C$ 位于线段 $A B$ 两侧，过点 $C$ 作线段 $A D$ 的垂线，交线段 $A D$ 于点 $E$ ，若点 $E$ 为 $A D$ 的三等分点，则 $\frac{D B}{A C}$ 的值为．

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