2025届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试(一)数学试题

试卷更新日期：2025-01-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |x = 2 k, k \in Z\}$ ， $B = \{x |{log}_{2} x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{4, 6\}$ C、 $\{0, 2, 4\}$ D、 $\{2, 4, 6\}$

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2. 复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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4. 若 $l, m$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则（）

A、若 $l ∥ α$ ， $m \subset α$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ∥ α$ ， $m ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ C、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $l ⊥ m$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $l ∥ α$ ， $α ∥ β$ ，则 $l // β$

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5. 下列四组数据中，方差最小的为（）

A、 $29, 25, 37$ B、 $30, 46, 25$ C、 $38, 40, 35$ D、 $40, 18, 30$

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6. 早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ ，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角 $α$ 和 $β$ （ $α$ 和 $β$ 的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（）

A、 $\frac{L}{β - α}$ B、 $\frac{L}{\sin (β - α)}$ C、 $\frac{L}{α + β}$ D、 $\frac{L}{\sin (α + β)}$

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7. 设函数 $f (x) = ln (e^{2 x} + 1) + |x| - x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) - f (x + 1) \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的弦 $A B$ 的中点横坐标为5，则 $|A B|$ 的最大值为（）

A、12 B、11 C、10 D、9

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知直线 $l ： k x - y + 2 k = 0$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ ，则（）

A、直线l恒过定点（2，0） B、存在k使得直线l与直线 $l_{0} ： x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 C、直线l与圆O相交 D、若 $k = - 1$ ，直线l被圆O截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$

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10. 已知函数 $f (x) = sin x \cdot \sqrt{1 + cos 2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 设曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ ，抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，记抛物线的焦点为 $F$ ， $M$ ， $Q$ 为分别为曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $l$ 为曲线 $C_{1}$ 的切线，则（）

A、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 无公共点，则 $p \in (0, e)$ B、若 $l$ 过点 $F$ ，则 $l$ 被 $C_{2}$ 截得的弦长为 $p + \frac{2}{e^{p + 2}}$ C、当 $p = 1$ 时， $|F M| \geq \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、当 $p = 1$ 时， $|M Q| > \frac{\sqrt{2}}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线右支上，若 $|P F_{1}| = 4$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ .

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13. 在 $△ A B C$ 中，已知 $C = \frac{2 π}{3}$ ， $tan A \cdot tan B = 2 - \sqrt{3}$ ，则 $cos (A - B) =$ .

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14. 有三个袋子，每个袋子都装有 $n$ 个球，球上分别标有数字 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ .现从每个袋子里任摸一个球，用 $X, Y, Z$ 分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“ $X + Y = Z$ ”的概率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 n x + b_{n} = 0$ 的两个根.

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求数列 $\{{(- 1)}^{n} \cdot \frac{4 n}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $A D$ 为边 $B C$ 上的中线.

(1)、证明： $A D = \frac{1}{2} \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}$ ；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $B C = C D = A D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为 $25 π$ ，求二面角 $C - A B - P$ 的余弦值.

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18. 数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列 $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} (n \in N^{*})$ 的性质，对通项公式取对数得， $ln a_{n} = ln {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ，则可通过研究函数 $y = ln {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ 的性质，得到数列 $\{ln a_{n}\}$ 的性质，进而得到 $\{a_{n}\}$ 的性质.请根据以上材料，解决如下问题：

(1)、若不等式 $c x \geq ln (1 + x)$ 对任意 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围，并证明： $e > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ；

(2)、是否存在常数 $a$ ，使得： $\forall n \in N^{*}$ 有， $1 - a^{- \frac{1}{n}} < \frac{2}{n} < a^{\frac{1}{n}} - 1$ ？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.
（注：e为自然对数的底数）

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19. 线段 $M N$ 的长为3，端点 $M, N$ 分别在 $y$ 轴和 $x$ 轴上运动，点 $E$ 满足 $\vec{M E} = 2 \vec{E N}$ ，记点 $E$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、曲线 $C$ 与 $x$ 轴的左右两个交点分别为 $A, B, P$ 为 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点.过点 $D (1, 0)$ 分别作直线 $l_{1} ∥ A P$ ，直线 $l_{2} ∥ B P$ ，其中 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $G, H$ 两点， $l_{2}$ 交直线 $x = - 1$ 于点 $R$ ，点 $I$ 满足 $|D G| \vec{I H} = |D H| \vec{I G}$ .
①求点 $I$ 的轨迹方程；
② $△ I D R$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

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