甘肃省白银市会宁县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-07 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量 $|\vec{a}| = 10$ ， $|\vec{b}| = 12$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 60$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $60^{°}$ B、 $120^{°}$ C、 $135^{°}$ D、 $150^{°}$

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2. 若复数 $z = \frac{a + 2 + a i}{3 - i}$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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3. $\sin 145 ° \cos 35 ° =$ （）

A、 $- \sin 70 °$ B、 $- \frac{1}{2} \sin 70 °$ C、 $\sin 70 °$ D、 $\frac{1}{2} \sin 70 °$

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4. 平行四边形 $O A B C$ （ $O$ 是原点， $O, A, B, C$ 按逆时针排列）， $A (1, 2), B (- 3, 7)$ ，则 $C$ 点坐标（）

A、 $(- 4, 5)$ B、 $(- 4, 4)$ C、 $(- 3, 5)$ D、 $(- 5, 4)$

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 6$ ， $\sin A = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ， $\cos B = \frac{9}{16}$ ，则 $b =$ （）

A、8 B、5 C、4 D、3

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{2 π}{3}, A C = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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7. 如图， $α$ ， $β$ 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (t ， 2) ， \vec{b} = (2 ， - 1)$ .若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出 $N$ 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间 $[90, 100]$ 内的学生人数为2人．则（）

A、 $x$ 的值为0.015， $N$ 的值为40 B、平均分为72，众数为75 C、中位数为75 D、已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人

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10. 已知直角三角形 $A B C$ 中， $\vec{A B} = (2, 3)$ ， $\vec{A C} = (1, k)$ ，则实数k的值可以为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

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11. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $sin α = - \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α$ 的值为.

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13. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值.

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14. $\sin 31 ° \cos 59 ° + \cos 31 ° \cos 31 ° =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $\cos θ = \frac{3}{5}$ ， $θ \in (π, 2 π)$ ，求 $sin (θ + \frac{π}{6})$ 以及 $tan (θ - \frac{π}{4})$ 的值．

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16. 已知 $α$ 为第二象限角，且满足 $2 \sin α = - \cos α$ ．求值：

(1)、 $\frac{\sin α - \cos α}{3 \sin α + \cos α}$ ；

(2)、 $\cos (α + \frac{π}{3})$ ．

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17. 已知复数 $z = 3 + b i (b \in R)$ ，且 $(1 + 3 i) \cdot z$ 为纯虚数.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $ω = \frac{z}{2 + i}$ ，求复数 $ω$ 以及模 $| ω |$ .

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18. 已知 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} + 2 {sin}^{2} \frac{x}{2} - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、已知 $α, β$ 均为锐角， $f (α + \frac{π}{6}) = \frac{8}{5}, cos β = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $sin (α - β)$ 的值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 3$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求：

(1)、 $\sin A$ 的值；

(2)、 $△ A B C$ 的面积和 $A C$ 边上的高．
条件①： $\cos C = \frac{2}{3}$ ， $b = 4$ ；
条件②： $\cos C = \frac{2}{3}$ ， $\cos B = \frac{1}{9}$ ．

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