湖南省长沙市第十五中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试题

试卷更新日期：2025-03-02 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分）

1. 下列各数中，是无理数的是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\sqrt[3]{27}$ D、0.13133

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(- a)}^{2} = a^{2}$ D、 $\sqrt{a^{2}} = a$

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3. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（）

A、 $6961 \times 10$ B、 $696.1 \times 1 0^{2}$ C、 $6.961 \times 1 0^{4}$ D、 $0.6961 \times 1 0^{5}$

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4. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上， $A C ⊥ O B$ ，垂足为D，若 $∠ A = 35 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（　　）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$

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8. 学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、6，6 B、7，6 C、6，7 D、7，8

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9. 已知点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，若 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则有（）

A、 $y_{1} < 0 < y_{2}$ B、 $y_{2} < 0 < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{2} < 0$ D、 $0 < y_{1} < y_{2}$

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10. 如图， $⊙ O$ 是边长为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形 $A B C$ 的外接圆，点D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接 $B D$ ， $C D$ ．以点D为圆心， $B D$ 的长为半径在 $⊙ O$ 内画弧，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $16 π$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分）

11. 因式分解： $x^{2} - \frac{1}{4} =$ ．

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12. 若分式 $\frac{1}{x - 4}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

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13. 若关于x的一元二次方程x²+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为．

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14. 若 $a^{2} - 2 a - 5 = 0$ ，则 $2 a^{2} - 4 a + 1 =$ ．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在x轴上，点A的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，点E在边 $C D$ 上．将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 $(0 ， 6)$ ，则点E的坐标为．

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16. 如图，菱形 $A B C D$ 的面积为24，点E是 $A B$ 的中点，点F是 $B C$ 上的动点．若 $△ B E F$ 的面积为4，则图中阴影部分的面积为．

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三、解答题（第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分）

17. 计算： $- 2 \cdot \cos 45 ° + {(π - 3.14)}^{0} + |1 - \sqrt{2}| + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

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18. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a + 1}$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$

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19. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．在某百货店购买甲种品牌奖品25件，乙种品牌奖品10件共用500元，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍．

(1)、求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？

(2)、若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？

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20. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：

(1)、接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；

(2)、若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；

(3)、若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．

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21. 乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度 $A B$ 的实践活动． $A$ 为乾元塔的顶端， $A B ⊥ B C$ ，点 $C$ ， $D$ 在点 $B$ 的正东方向，在 $C$ 点用高度为1.6米的测角仪（即 $C E = 1.6$ 米）测得 $A$ 点仰角为 $37 °$ ，向西平移14.5米至点 $D$ ，测得 $A$ 点仰角为 $45 °$ ，请根据测量数据，求乾元塔的高度 $A B$ ．（结果保留整数，参考数据： $sin 37 ° \approx 0.60$ ， $cos 37 ° \approx 0.80$ ， $tan 37 ° \approx 0.75$ ）

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22. 如图，直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $A E ⊥ l$ 于点 $E$ ，延长 $A B$ 交直线 $l$ 于点 $C$ ．

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ C A E$ ；

(2)、如果 $B C = 1$ ， $D C = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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23. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中 $A (- 2, 0), C (0, - 2)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若 $P$ 是二次函数图象上的一点，且点 $P$ 在第二象限，线段 $P C$ 交 $x$ 轴于点 $D, △ P D B$ 的面积是 $△ C D B$ 的面积的2倍，求点 $P$ 的坐标．

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