广西南宁市第三中学2024-2025学年下学期九年级开学考试数学试卷

试卷更新日期：2025-02-28 类型：开学考试

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一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1. 冰箱冷藏室的温度零上 $3 ° C$ ，记作 $+ 3 ° C$ ，冷冻室温度为零下 $8 ° C$ ，应记作（）

A、 $8 ° C$ B、 $- 8 ° C$ C、 $5 ° C$ D、 $- 5 ° C$

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2. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（）

A、必然事件 B、不可能事件 C、随机事件 D、确定性事件

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4. 2024年11月10日，合肥马拉松比赛（全线共42.195公里）在骆岗公园燃情开跑，共有119000人参加报名此次比赛．其中数字119000用科学记数法表示为（）

A、 $11.9 \times 10^{4}$ B、 $0.119 \times 10^{6}$ C、 $1.19 \times 10^{5}$ D、 $11.9 \times 10^{5}$

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5. 下列方程是一元一次方程的是（）

A、 $x - y = 6$ B、 $\frac{2}{x} - 1 = \frac{3}{4}$ C、 $x^{2} + 3 x = 1$ D、 $1 + x = 3$

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线交于点O，若 $∠ A C B = 30 °$ ， $A B = 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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7. 下列运算正确的是（）

A、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$ B、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$ C、 ${(- x)}^{6} \div {(- x)}^{3} = - x^{3}$ D、 ${(x y^{2})}^{3} = x^{3} y^{2}$

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8. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C 、 D$ 为 $⊙ O$ 上两点，若 $∠ B C D = 38 °$ 则 $∠ A B D$ 的大小为（）

A、 $76 °$ B、 $52 °$ C、 $50 °$ D、 $38 °$

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9. 2021年我国新增高效节水灌溉面积188万 ${hm}^{2}$ ，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万 ${hm}^{2}$ ，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（）

A、 $188 {(1 + x)}^{2} = 622.28$ B、 $188 + 188 (1 + x) + 188 {(1 + x)}^{2} = 622.28$ C、 $188 + 188 {(1 + x)}^{2} = 622.28$ D、 $188 + 2 \times 188 (1 + x) = 622.28$

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10. 函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $y = - k x^{2} + k (k \neq 0)$ 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，在三角形纸片 $A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $B C = 8$ ，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与 $△ A B C$ 相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，线段 $C D$ 在抛物线的对称轴上移动（点 $C$ 在点 $D$ 下方），且 $C D = 3$ ．当四边形 $A B C D$ 的周长最小时，点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(4, 3)$ B、 $(4, 4)$ C、 $(4, 5)$ D、 $(4, 6)$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）

13. 若代数式 $\sqrt{x - 2025}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围为．

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14. 因式分解： $a^{2} + 2 a =$ ．

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15. 如图，点P是反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于

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16. 如图，在边长为6的等边 $△ A B C$ 中，点P是 $△ A B C$ 内一点，过点P作 $P D ⊥ A B$ ， $P E ⊥ B C$ ， $P F ⊥ A C$ ，垂足分别为D，E，F，连接 $A P$ ，若 $P E^{2} = P D \cdot P F$ ，则 $A P$ 的最小值为．

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三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. （1）计算： $\sqrt{\frac{1}{4}} - 3^{- 1} + |- \frac{1}{2}|$ ；
（2）化简： ${(2 x + y)}^{2} - 4 x (x + y)$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (2, 1)$ ， $B (1, - 2)$ ．

(1)、画出将 $△ O A B$ 向左平移2个单位得到的 $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ ；

(2)、以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出 $△ O A B$ 的一个位似 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使它与 $△ O A B$ 的相似比为2：1；

(3)、判断 $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ 和 $△ O A_{2} B_{2}$ 是否是位似图形（直接写结果）若是直接写出位似中心点M的坐标．

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19. 为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是　     　；
（2）图1中∠α的度数是　     　，并把图2条形统计图补充完整；
（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　     　．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．

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20. 某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣 $50 %$ 的快递．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．

(1)、两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？

(2)、“6·18”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案．

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21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．

活动主题	测算某景区山的高度
测量工具	皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象	如图， $A M$ 是山脚的水平线，大山高 $B D$ 垂直于水平线 $A M$ 于点D．
测量过程与数据信息	1．在山脚A处测出山顶B的仰角 $∠ B A M = 45 °$ ； 2．沿着山坡前进 $100 m$ 到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角 $∠ B C N = 50 °$ ，山坡的坡角 $∠ C A M = 20 °$ ．（图中所有点均在同一平面内）

（参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34 ， \cos 20 ° \approx 0.94 ， \tan 20 ° \approx 0.36 ， \sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ ）

请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：

(1)、求坡面

A C

的水平距离和垂直距离；

(2)、求山的高度，即求线段

B D

的长．（注：请用（1）中坡面

A C

的水平距离和垂直距离的整数值进行计算）

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22. 函数探究课上，小明在刘老师的指导下对一个新函数 $y = \frac{8}{|x + 1| + 2}$ 进行研究，以下是他的研究过程，请补充完整．

(1)、绘制函数图
①列表：下表是x与y的几组对应值．
$x$
…
$- 7$
$- 6$
$- 5$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
…
$y$
…
$1$
$\frac{8}{7}$
$a$
$\frac{8}{5}$
$2$
$\frac{8}{3}$
$4$
$\frac{8}{3}$
$2$
$\frac{8}{5}$
$\frac{4}{3}$
$\frac{8}{7}$
$b$
$\frac{8}{9}$
$\frac{4}{5}$
…
填空： $a =$ ______， $b =$ ______；
②描点：根据表中的数值描点 $(x, y)$ ，在如图的平面直角坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象．

(2)、探究函数性质
观察图像，请写出函数 $y = \frac{8}{|x + 1| + 2}$ 的两条性质：①______；②______．

(3)、运用函数图象及性质
①根据函数图象，不等式 $\frac{8}{|x + 1| + 2} \leq 2$ 的解集是______．
②若关于 $x$ 的方程 $\frac{8}{|x + 1| + 2} = m$ 有两个实数解，则 $m$ 的取值范围为______．

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23. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与 $⊙ O$ 相离，点P在直线l上运动，过点P作 $⊙ O$ 的切线，切点为A，则 $P A$ 的长是否存在最小值？
小明探究后发现，当 $O P ⊥$ 直线l时， $P A$ 的长最小．
请帮小明证明该结论：
【理解内化】（2）如图2，正方形 $A B C D$ 的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是 $B C$ 边上动点，过点P作 $⊙ O$ 的切线，切点为E，则 $P E$ 的取值范围为______．
【拓展应用】（3）如图3，直线 $y = \frac{3}{4} x + 3$ 与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线 $y = \frac{3}{4} x + 3$ 向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的 $⊙ P$ 作右侧作切线，切点为E．则四边形 $C P E D$ 面积的最小值为______．
（4）在平面直角坐标系中， $⊙ A$ 的半径为2， $A (0, 4)$ ，过直线 $y = k x (k \neq 0)$ 上一点P，作 $⊙ A$ 的切线，切点为E， $△ P A E$ 最小面积为S．若 $1 \leq S \leq \frac{3}{2}$ ．请直接写出k的取值范围．

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$x$	…	$- 7$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	…
$y$	…	$1$	$\frac{8}{7}$	$a$	$\frac{8}{5}$	$2$	$\frac{8}{3}$	$4$	$\frac{8}{3}$	$2$	$\frac{8}{5}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{8}{7}$	$b$	$\frac{8}{9}$	$\frac{4}{5}$	…