四川省成都东部新区养马高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 为了得到函数 $y = \cos \frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线 $y = \cos x$ 上所有的点（）

A、横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，纵坐标不变 C、纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，横坐标不变

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2. 已知 $▱ A B C D$ 的三个顶点 $A (- 1, - 2), B (3, 1), C (0, 2)$ ，则顶点D的坐标为（）

A、 $(2, - 3)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(4, 5)$ D、 $(- 4, - 1)$

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3. 已知 $\sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 x$ 的值为

A、 $\frac{19}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{14}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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4. 若向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (2, 2)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(6, 3)$

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5. 设 $\overset{⇀}{m}, \overset{⇀}{n}$ 是两个不共线的向量，若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{m} + 5 \overset{⇀}{n}, \overset{⇀}{B C} = - 2 \overset{⇀}{m} + 8 \overset{⇀}{n}, \overset{⇀}{C D} = 4 \overset{⇀}{m} + 2 \overset{⇀}{n},$ 则（）

A、 $A, B, D$ 三点共线 B、 $A, B, C$ 三点共线 C、 $A, C, D$ 三点共线 D、 $B, C, D$ 三点共线

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6. 若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $C = 60 °$ ，则边 $A B$ 的长度等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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7. 在直角梯形ABCD中， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0, ∠ B = 30 °, A B = 2 \sqrt{3}, B C = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，当 $x y$ 的值最大时， $| \vec{A E} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2 x, - 3)$ 且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、－3 B、 $- \frac{3}{4}$ C、0 D、 $\frac{3}{4}$

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二、多选题：本大题共4小题，共20.0分.

9. 下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1 - \cos 120^{°}}{2}}$ B、cos² $\frac{π}{12}$ －sin² $\frac{π}{12}$ C、cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D、 $\frac{\tan 15^{°}}{1 - \tan^{2} 15^{°}}$

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10. 下列说法中错误的为（）

A、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 1)$ 且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\vec{a} + λ \overset{⃑}{b}$ 夹角为锐角，则λ的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ B、已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 平行，则 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 方向上的投影数量为 $|\overset{⃑}{a}|$ D、若非零 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角是60°

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11. 已知在 $△ A B C$ 中，角A，B， $C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 且 $A = 60^{°}$ ， $b = 2$ ， $c = \sqrt{3} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C = 75^{°}$ 或 $C = 105^{°}$ B、 $B = 45^{°}$ C、 $a = \sqrt{6}$ D、该三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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12. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ B、直线 $x = - \frac{11 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ D、方程 $f (x) = a$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个根时，实数 $a$ 的取值范围为 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup {1}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $\tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α =$ .

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14. 函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x$ 的最大值为．

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15. 已知 $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, 2), \vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的投影向量是（用坐标表示）

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16. 如图， $P$ 为矩形 $A B C D$ 边 $A B$ 中点， $M$ ， $N$ 分别在线段 $E F$ 、 $C D$ 上，其中 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $A E = B F = 1$ ，若 $\overset{⃑}{P M} \cdot \overset{⃑}{P N} = 4$ ，则 $|\overset{⃑}{P M} + \overset{⃑}{P N}|$ 的最小值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70.0分.

17. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, - 3)$
（1）若 $\overset{⃑}{c} = 2 \overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}$ ，求 $\overset{⃑}{c}$ 的坐标；
（2）若 $λ \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a}$ 垂直，求 $λ$ 的值.

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18. 已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 是第二象限角.
(1)求 $\sin 2 α$ 的值；
(2)求 $\cos (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 4)$ ， $\vec{c} = (4, - x)$ ，且向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线.

(1)、证明： $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c} - \vec{b}$ 夹角的余弦值；

(3)、若 $| \vec{a} + t \vec{c} | = \sqrt{10}$ ，求 $t$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \cos^{4} x - 2 \sin x \cos x - \sin^{4} x$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）若 $f (x_{0}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值．

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21. 如图，是一个半径为2千米，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形游览区的平面示意图．点C是半径OB上一点，点D是圆弧AB上一点，且 $C D ∥ O A$ ，现在线段OC、线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧DB处每千米均为a元．设 $∠ A O D = x$ 弧度，广告位出租的总收入为y元．

(1)、求y关于x的函数解析式 $y = f (x)$ ，并写出该函数的定义域；

(2)、试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．

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22. 已知 $△ A B C$ 的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 $b \cos A = 2 c \cos C - a \cos B$ ．

(1)、求角C的大小：

(2)、若 $c = 2, b^{2} + c^{2} = a^{2} + 4 a c \cos A$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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