浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-15 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {1, 2}, B = {x ∣ x^{2} + m x - 3 = 0}$ ，若 $A ∩ B = {1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${- 3, 1, 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${- 3, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 若函数 $f (x) = (\frac{1}{2} a - 3) \cdot a^{x}$ 是指数函数，则 $f (\frac{1}{2})$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 设复数 $z = \frac{1 - i^{5}}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数的虚部是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、－1

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4. 已知非负实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 + y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、2 C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5. 已知 $sin (θ - \frac{π}{12}) = \frac{3}{4}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{16}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{7}{16}$

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6. 已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥 $A - B C D$ 则在折叠过程中，不可能出现（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、平面 $A B D ⊥$ 平面BCD

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7. 一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个黑球，从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记2分，摸到一个黑球记1分，则总得分 $ξ$ 的数学期望等于（）

A、5分 B、4.8分 C、4.6分 D、4.4分

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8. 已知 $x_{1} = l o g_{3} 2, x_{2} = l o g_{5} 6, x_{3} = \frac{1}{2} l o g_{2} 5$ ，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ C、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, 2)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{13}$ B、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{3}{5}, \frac{6}{5})$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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10. 下列命题中正确的是（）

A、已知随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X - 1) = 6$ B、已知随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x - 1 < ξ < x + 1)$ 为偶函数，则 $μ = 0$ C、数据 $1, 3, 4, 5, 7, 8, 10$ 第80百分位数是8 D、样本甲中有 $m$ 件样品，其方差为 $s_{1}^{2}$ ，样本乙中有 $n$ 件样品，其方差为 $s_{2}^{2}$ ，则由甲乙组成的总体样本的方差为 $\frac{m}{m + n} \cdot s_{1}^{2} + \frac{n}{m + n} \cdot s_{2}^{2}$

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11. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in [0, 1)$ 时， $f (x) = 1 - | 2 x - 1 |$ ，则使得 $f (x) < 4$ 在 $(- \infty, m]$ 上恒成立的 $m$ 可以是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{15}{4}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．

12. $(1 + \sqrt{3})^{5} + (1 - \sqrt{3})^{5} =$ ．

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13. 一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件 $A_{i} =$ “第 $i$ 次命中目标” $(i = 1, 2), P (A_{1}) = \frac{1}{4}$ ， $P (A_{i + 1} ∣ A_{i}) = 2 P (A_{i}), P (A_{i + 1} ∣ \bar{A_{i}}) = \frac{1}{4} (i = 1)$ ，则 $P (A_{2}) =$ ．

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14. 已知在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ B D, A C ⊥ C D, A B = 8, B D = 6$ ，点 $P$ 为三棱锥 $A - B C D$ 外接球上一点，则三棱锥 $P - A B D$ 的体积最大为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a + b + c = 8$

(1)、若 $b = 2, c = 3$ ，求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $sin C + sin B = 3 sin A$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $S = \frac{9}{2} sin A$ ，求 $b$ 和 $c$ 的值．

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16. 已知四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A$ ⊥面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $S A = A B$ ， $E$ 为 $S D$ 的中点．

(1)、求证： $A E ⊥$ 面 $S C D$ ；

(2)、求直线 $B S$ 与面 $S C D$ 所成的角．

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17. 已知 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x cos ω x - {cos}^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，

(1)、求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ 在 $(0, m)$ 上恰有 $2$ 个极值点和 $2$ 个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108

(1)、求数学成绩 $y$ 与学习时间 $x$ 的相关系数（精确到0.001）；

(2)、请用相关系数说明该组数据中 $y$ 与 $x$ 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 22820, \sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 435, \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 38999, {107.4}^{2} \approx 11540$ ， $x_{i}$ 的方差为200）；

(3)、基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 $2 \times 2$ 列联表（表二）.依据表中数据及小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
附：方差： $S^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19. 已知 $f (x) = | x - a | (x - 2 a), a > 0$

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $g (x) = f (x) + a$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，求 $| x_{1} - x_{2} |$ 的值；

(3)、当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x)$ 的最大值 $M$ ，最小值为 $m$ ，若 $M - m \leq 4$ ，求 $a$ 的取值范围．

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	没有进步	有进步	合计
参与周末在校自主学习	35	130	165
未参与周末不在校自主学习	25	30	55
合计	60	160	220

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

编号	1	2	3	4	5
学习时间x	30	40	50	60	70
数学成绩y	65	78	85	99	108