成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题

试卷更新日期：2025-01-03 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 若集合 $A = \{x| \sqrt{\log_{2} x} \leq 2\}$ ， $B = \{x| x^{2} < 16\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $(- 4, 16]$ B、 $(0, 4)$ C、 $[1, 4)$ D、 $[1, 16)$

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2. $f (x) = x - 1 - 2 \ln x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线方程为（）

A、 $y + x - 1 = 0$ B、 $y - x + 1 = 0$ C、 $x = 1$ D、 $y + 2 x - 2 = 0$

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3. $\vec{a} = (t - 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2 - t, - 1)$ ，命题 $p : \vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，命题 $q : \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 直线 $l_{1}$ 上单位向量为 $(\frac{3}{5}, m)$ ，直线 $l_{2}$ 上有 $C$ ， $D$ 两点， $\vec{C D} = (t, t - 2)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{8}{7}$ B、 $\frac{8}{7}$ C、 $8$ D、 $\frac{8}{7}$ 或 $8$

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5. 我们初中所学的反比例函数图象其实是一种典型的双曲线．若 $g (x) = \frac{1}{x}$ ，则该双曲线焦距为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 在锐角三角形 $A B C$ 中，若 $A = \frac{π}{4}$ ，则 ${(\frac{1}{\tan B} + 1)}^{2} + {(\frac{1}{\tan C} + 1)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $8$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 分别为等差数列和等比数列， $a_{1} > 0 ， b_{1} > 0 ， {a_{n}}$ 为递减数列， ${b_{n}}$ 为递增数列，且 ${a_{n}}$ 的和 $S_{n}$ 有最大值． $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ， $c_{1} = 2$ ， $c_{2} = 3$ ， $c_{3} = c_{1} \cdot c_{2}$ ，则 $c_{4}$ 的取值范围为（）

A、 $(11, 13)$ B、 $(13, 15)$ C、 $(13, + \infty)$ D、 $(11, 15)$

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8. 一正四棱锥 $P - A B C D$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，当其外接球半径 $R$ 与内切球半径 $r$ 之比最小时， $V_{P - A B C D}$ 为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} + 2}{3}$ B、 $2 \sqrt{2} + 2$ C、 $2 \sqrt{\sqrt{2} + 1}$ D、 $\frac{2 \sqrt{\sqrt{2} + 1}}{3}$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）

9. $\cos (2 θ + \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $θ$ 有1解 B、 $θ$ 有2解 C、 $\sin (2 θ + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，将 $f (x)$ 向右平移 $\frac{5}{12} π$ 个单位得到 $g (x)$ ， $g (x)$ 为奇函数

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10. $f (x) = \sin x \tan x + \cos x (0 < x < \frac{π}{2})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在定义域内单调递增 B、 $\exists x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ， $f^{2} (x_{0}) = \frac{1 - \cos 2 x_{0}}{2}$ C、在定义域内恒有 $f (x) < \frac{2}{2 - x^{2}}$ D、当 $x \in (0, π)$ 时，恒有 $\frac{e^{2 x}}{2 \sin x} > e^{2} tan \frac{x}{2}$

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11. 定义： $\{a_{n}\}$ 满足当 $n$ 为奇数时， $a_{n} + a_{n + 1} = k$ ；当 $n$ 为偶数时， $a_{n} + a_{n + 1} = - k$ ， $k \in Z$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“回旋数列”.若 $\{b_{n}\}$ 为“回旋数列”， $b_{1} = 1$ ， $k = 3$ ，设 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，从 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{2 n}$ 中任意抽取两个数，两个数之和大于 $0$ 的概率为 $P_{2 n}$ ， $P_{2 n}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $b_{20} - b_{19} = 119$ B、 $4 S_{2 n + 1} = - 3 S_{2 n} + S_{2 n - 1}$ C、 $P_{100} = \frac{50}{99}$ 且 $P_{2 n}$ 恒不小于 $\frac{1}{2}$ D、 $T_{n} \leq \frac{n}{2^{n - 1}}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. ${(3 x^{2} + x^{\frac{1}{3}})}^{n}$ 偶数项二项式系数和为 $128$ ，则第 $4$ 项为．

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13. $|z| = 1$ ，若 $z^{2}$ 与 $z$ 关于复平面虚轴对称，则 $\bar{z} =$ ．

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14. 双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，动点 $P$ 在双曲线右支上，过 $P$ 作两条渐近线垂线分别交于 $M ， N$ 两点．若 $|P M| + |P F_{1}|$ 最小值为 $3$ ，则 $|P M| + |P N|$ 的最小值为．

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = B C = A C = A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 为线段 $A C$ 中点．

(1)、证明： $A B_{1} / /$ 平面 $B E C_{1}$ ；

(2)、若 $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，求二面角 $A - B E - C_{1}$ 的余弦值．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $a = 6, b = 4, sin C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆半径 $R$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为等腰三角形， $△ A B C$ 所在平面内有一点 $P$ ，满足 $\vec{O P} = \vec{O C} + λ (\frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}| sin B} + \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}| sin A}) ， O$ 为 $△ A B C$ 内部一点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值．

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17. $\{a_{n}\}$ 为等差数列或等比数列， $\{a_{n}\}$ 和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = 8$ ， $a_{6} = 32$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，求 $S_{n}$ 的通项公式；

(2)、当 $\{a_{n}\}$ 为等差数列时， $b_{n} = \frac{s_{n}}{a_{n}}$ ；当 $\{a_{n}\}$ 为等比数列且 $\{a_{n}\}$ 为摆动数列时， $c_{n} = \frac{s_{n}}{a_{n}}$ ．当 $n \geq 5$ 时，求 $(b_{n}_{min} + c_{n}_{min})$ 的值；

(3)、若 $S_{n}$ 单调递增，证明： $n^{2} a_{n} + S_{n} (2 \cos n - 1) > \frac{n}{e^{n - 1}} (n \in N^{*}) ．$

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）， $O$ 为坐标原点，过椭圆 $C$ 左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $x$ 轴上方），有 $∠ P F_{1} O = 2 ∠ F_{1} P O$ ， $l$ 不与 $x$ 轴重合．

(1)、当 $∠ F_{1} P O = 45 °$ 时，求椭圆 $C$ 的离心率 $e$ ；

(2)、求 $\frac{|P O|}{|F_{1} O|}$ 的取值范围；

(3)、是否存在 $l$ 使 $|P O| + |P F_{1}| = 2 a$ ？若存在，求出 $∠ P F_{1} O$ 的余弦值；若不存在，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - x^{2} - 2 x (m \neq 0)$ ， $P (x_{1}, y_{1})$ 与 $Q (x_{2}, y_{2})$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，回答下列问题：

(1)、当 $m < 0$ 时，证明 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > k_{P Q}$ ；

(2)、 $f (x)$ 上有 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 三点（ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均不为 $0$ 且互不相等），满足 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列且 $x_{3} = 3 x_{1}$ ．
①若不存在 $A, B, C$ 三点，使 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 成等差数列，求 $m$ 的取值范围；
②若 $m < 0, g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ，证明： $g (m) + g (- m) > 2$ ．

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