广东省广州市白云区广东第二师范学院实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-16 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = \frac{5}{4} ， a_{2} + a_{4} + a_{6} = \frac{5}{2}$ ，则 $a_{4} + a_{6} + a_{8} =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、5 C、10 D、20

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2. 点 $P$ 是曲线 $y = x^{2} - ln x$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $y = x - 4$ 的距离的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 为了配合社区做好新冠肺炎疫情防控工作，某校要派四名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（）

A、14种 B、20种 C、10种 D、7种

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4. ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{3}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为（）

A、6 B、8 C、27 D、33

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5. 某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（）

A、 $\frac{9}{40}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（）

A、事件A与B相互独立 B、事件B与C互为对立事件 C、 $P (B | D) = 2 P (C | A)$ D、 $P (C + D) = \frac{5}{6}$

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7. 已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P
a
$\frac{1}{3}$
$5 a$
$\frac{1}{6}$
若离散型随机变量 $Y = 2 X + 1$ ，则 $P (Y \geq 5) =$ （）．

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 设 $a = \frac{3}{4} e^{\frac{4}{5}}, b = \frac{3}{2}, c = \frac{4}{5} e^{\frac{3}{4}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的不得分）

9. 有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（）

A、6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240 B、6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240 C、6名同学平均分成三组分别到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种 D、6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种

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10. 已知 $P (A) = \frac{1}{5}$ ， $P (B | A) = \frac{1}{4} .$ 若随机事件 $A$ ， $B$ 相互独立，则( )

A、 $P (B) = \frac{1}{3}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{20}$ C、 $P (\bar{A} | B) = \frac{4}{5}$ D、 $P (A + \bar{B}) = \frac{4}{5}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在三个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 C、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{\max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最小值为 $2$ D、若方程 $f (x) = k$ 有两个实根，则 $k \in (- e, 0] \cup \{\frac{5}{e^{2}}\}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共1分）

12. 有 $5$ 位大学生要分配到 $A, B, C$ 三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这 $5$ 位学生中的甲同学分配在 $A$ 单位实习，则这 $5$ 位学生实习的不同分配方案有种．（用数字作答）

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13. 已知 $\frac{1}{10} {(x^{2} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，含 $x$ 项的系数为 $k$ ， ${(1 - k x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ .则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} =$ .

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14. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ ．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ，设 $b_{n} = a_{n} + 1$

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$

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16. 第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量.某市计划开展“学两会，争当新代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成表队参赛.

(1)、在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，求党员甲被选中的概率.

(2)、现从代表队中随机选取1名队员，求该队员是党员的概率.

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17. 盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球.

(1)、求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；

(2)、设两局比赛后盒中新球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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18. 已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n} a_{n + 1}}{2} = 4^{n}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n}}$ ，设其前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 5$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - (a + 1) x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、证明：方程 $f (x) = e^{- x}$ 至多只有一个实数解．

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X	0	1	2	3
P	a	$\frac{1}{3}$	$5 a$	$\frac{1}{6}$