浙江省金华市婺城中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试试题

试卷更新日期：2025-02-25 类型：开学考试

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一、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.）

1. 两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作-150元，那么80元表示（）

A、支出150 B、收入150元 C、支出80元 D、收入80元

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2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（）

A、 $2.15 \times 1 0^{7}$ B、 $0.215 \times 1 0^{8}$ C、 $2.15 \times 1 0^{6}$ D、 $21.5 \times 1 0^{6}$

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4. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A、圆锥 B、圆柱 C、三棱柱 D、正方体

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5. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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6. 生物课上学习了淀粉遇碘变蓝知识，为探究生活中常见蔬菜是否含有淀粉，甲、乙两名同学同时从土豆、玉米、黄瓜、芹菜四种蔬菜中随机抽取两种进行实验，则同时能观察到变蓝现象的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图是一个隧道的横截面，其形状是以 $O$ 为圆心的圆的一部分，路面 $A B = 12$ 米，高 $C D = 9$ 米，则该圆的半径OA为（）

A、6米 B、7米 C、 $\frac{13}{2}$ 米 D、 $\frac{15}{2}$ 米

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8. 已知点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上，则下列结论正确的是（）

A、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ B、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} = 0$ D、若 $x_{1} + x_{2} > 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} > 0$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ .按以下步骤作图：①以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC ， AB相交于点 $M_{1}, M_{2}$ ；分别以 $M_{1}, M_{2}$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M_{1} M_{2}$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ ，作射线AM.②以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC ， AB相交于点 $N_{1}, N_{2}$ ；分别以 $N_{1}, N_{2}$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} N_{1} N_{2}$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $N$ ；作射线BN ，与射线AM相交于点 $P$ .③连接CP.若点 $P$ 到直线AB的距离为1，则线段CP的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 如图1，在矩形纸片ABCD中， $A B = 12, A D = 10$ ，点 $E$ 是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次，第一次折叠纸片使点 $A$ 与点 $E$ 重合（如图2），折痕为MN ，连结ME ， NE；第二次折叠纸片使点 $N$ 与点 $E$ 重合（如图3），点 $B$ 落在 $B^{^{'}}$ 处，折痕为HG ，连结HE ，则 $t a n ∠ E H G$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{13}{12}$ D、 $\frac{5}{3}$

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二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 因式分解： $2 x^{2} - 8 =$ .

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12. 一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红蓝两种小球共60个，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，经过多次摸球，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，由此可以推断袋中有个红球.

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13. 如图，正九边形内接于 $⊙ O, A B$ 为正九边形的一边，点 $C$ 为正九边形的一个顶点，则 $∠ A C B =$ $^{°}$ .

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14. 已知直线 $y = \frac{5}{2} x + 2$ 与直线 $y = - \frac{3}{2} x - 6$ 相交于点 $P (- 2, - 3)$ ，则关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 5 x - 2 y + 4 = 0 \\ 3 x + 2 y + 12 = 0 \end{array}$ 的解是.

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15. 如图，半径为1的 $⊙ O$ 在边长为4的正方形ABCD内任意移动，在其移动的过程中， $⊙ O$ 所移动过的最大区域面积为（结果保留 $π$ ）.

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16. 如图，点 $D$ 是等边 $△ A B C$ 的边BC上的点（不与B、C重合），点 $E$ 是点 $D$ 关于AB的对称点，连结AD ， DE ，在AD上取一点 $F$ ，使得 $∠ E F D = 6 0^{°}$ ，射线EF与AC交于点 $G$ ，若 $D E = a$ ，则 $C G =$ （用含 $a$ 的代数式表示）.

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三、解答题（本大题有8小题，共72分）

17. 计算： $(π - 2025)^{0} + 2 s i n 30 ° - | \sqrt{3} - 2 |$

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 3 \leq x \\ 2 x - 1 > \frac{2 x + 1}{3} \end{array}$

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19. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC ， BD交于点 $O$ ， $A C ⊥ B D, O B = O D$ ，求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠：
证明：
$∵ A C ⊥ B D, O B = O D,$
$∴ A C$ 垂直平分BD.
$∴ A B = A D, C B = C D$ ，
$∴$ 四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.

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20. 古诗词是传统文化的瑰宝，为感受古诗书韵，打造“书香校园”，传承华夏文明，学校随机抽取了20名学生进行诗词知识测试，测试成绩如下：83、75、76、91、88、88、93、78、98、95、74、67、96、72、87、73、100、81、94、86.
【整理数据】小强对以上数据进行了整理分析，并绘制出频数分布表：
分组
频数
$A : 60 < x \leq 70$
$a$
$B : 70 < x \leq 80$
6
$C : 80 < x \leq 90$
$b$
$D : 90 < x \leq 100$
7
【解决问题】

(1)、 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、以上数据中，中位数是，众数是；

(3)、竞赛成绩高于80分评价为“优秀”等级.试估计全校800名学生中，成绩在“优秀”的约有多少人？

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21. 若一个四位正整数 $P$ 满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称 $P$ 为“双减数”.将“双减数 $P$ ”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为 $N (P)$ .例如：四位正整数 $7564, ∵ 7 - 5 = 6 - 4 = 2$ ，且 $7 \neq 6$ ， $∴ 7564$ 是“双减数”，此时 $N (7564) = 75 - 64 = 11$ .

(1)、判断“8631”是否是双减数？若是，请求出 $N (8631)$ 的值；若不是，请说明理由.

(2)、命题“对于任意双减数 $A, N (A)$ 都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由.

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22. 如图， $A$ 为海上一供给站，小岛 $B$ 在供给站 $A$ 的正西方向，灯塔 $D$ 在供给站 $A$ 的正南方向，另一供给站 $C$ 在灯塔 $D$ 的西南方向，与灯塔 $D$ 相距 $20 \sqrt{6}$ 海里，在供给站 $C$ 处测得小岛 $B$ 在北偏西 $5 3^{°}$ 方向，且 $B C = 60 \sqrt{3}$ 海里.

(1)、求供给站 $C$ 到AB的距离；

(2)、一游艇在小岛 $B$ 处突发故障滞留并发出求救信号，此时从 $D$ 处派出了两艘救援船甲、乙前往 $B$ 处救援，甲选择的路线为 $D \to C \to B$ ，乙选择的路线为 $D \to A \to B$ ，若甲的速度为每小时 $25 \sqrt{3}$ 海里，乙的速度为每小时 $21 \sqrt{3}$ 海里，请通过计算说明甲、乙两艘救援船谁先到达 $B$ 处？（参考数据： $s i n 5 3^{°} \approx \frac{4}{5}, c o s 5 3^{°} \approx \frac{3}{5}, t a n 5 3^{°} \approx \frac{4}{3}$ ）

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23. 已知二次函数 $y = a x^{2} + 4 a x + 3 a (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，
①这个二次函数的顶点坐标为 ▲ ；
②若点 $(m, y_{1})$ 与 $(m + 3, y_{2})$ 分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， $y_{1} \leq y_{2}$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、将这个二次函数图象向右平移 $k (0 < k < 2)$ 个单位长度，若平移后的二次函数在 $- 2 \leq x \leq 0$ 的范围内有最大值为 $\frac{5}{4} a$ ，求 $k$ 的值.

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24. 如图，CD是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于点E ， F为 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，连结 $A C ， C F, F B, A F, A F$ 与CD交于点 $G$ ，连结CB交AF于点 $H$ .

(1)、求证： $∠ A F C = ∠ C A B$ ；

(2)、当 $A F ⊥ C B$ 时，求证： $△ C F G$ 是等腰三角形；

(3)、在（2）的条件下，若 $B F = 4, A C = 8$ ，求AF的长.

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分组	频数
$A : 60 < x \leq 70$	$a$
$B : 70 < x \leq 80$	6
$C : 80 < x \leq 90$	$b$
$D : 90 < x \leq 100$	7