浙江省杭州市西湖区2024-2025学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2025-02-25 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 二次函数 $y = (x - 1)^{2} + 2$ 的图象的顶点坐标是（）

A、 $(- 1,2)$ B、 $(1,2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(- 1, - 2)$

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2. 如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点 $A$ ， $B$ ， $C .$ 若线段 $A B = 6$ ，则线段 $B C$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $9$

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3. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B = 8$ ，半径 $O C ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $O D = 3$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $\sqrt{73}$ B、 $\sqrt{55}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、 $5$

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4. 一个箱子里有 $7$ 个白球， $2$ 个红球， $1$ 个黑球，它们除颜色外其余均相同 $.$ 从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{2}{9}$

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5. 杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝” $.$ 如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为 $160 °$ ，半径是 $30 c m$ ，则扇形的面积为 $（） c m^{2}$ ．

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、 $\frac{80 π}{3}$ C、 $400 π$ D、 $800 π$

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 为常数， $a \neq 0)$ 部分 $x$ ， $y$ 的对应值如下表：

$x$

$\dots$

$0$

$1$

$3$

$4$

$\dots$

$y$

$\dots$

$1$

$- 1$

$1$

$5$

$\dots$
则下列判断中正确的是（）

A、函数图象的开口向下 B、当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、当 $y > 1$ 时， $x > 3$ D、 $y$ 最小值为 $- 1$

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7. 如图， $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $20 °$ 得到 $△ A B' C'$ ，点 $C$ 恰好落在 $B' C'$ 上，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $90 °$

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8. 如图，已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上依逆时针顺序排列的四个点，且满足 $\overset{⏜}{A B} + \overset{⏜}{C D} = 180 °$ ，设弦 $B C = x$ ， $A D = y$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $10$ ，则在 $x$ ， $y$ 值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x y$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$

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9. 已知二次函数 $y = k x^{2} + 2 x + c (k, c$ 为常数， $k \neq 0)$ ，当 $y > 0$ 时， $- 1 < x < 2$ ，则二次函数 $y = k x^{2} - 2 x + c$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图是由边长为 $1$ 的小正方形组成的 $5 \times 3$ 网格， $△ A B C$ 的顶点及点 $M$ ， $N$ 都是格点， $A B$ 与格线 $C N$ 交于点 $D$ ， $A C$ 与 $M N$ 交于点 $E .$ 则有以下四个结论： $① A B = \sqrt{2} M N$ ； $② C E = 2 A E$ ； $③ ∠ A D E = ∠ A C B$ ； $④ ∠ A C B = 45 ° .$ 其中正确的结论是（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $③ ④$ D、 $① ② ③$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} (a \neq 0, b \neq 0)$ ，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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12. 在分别写有数字 $2$ ， $3$ ， $5$ 的三张小卡片中 $($ 卡片只有数字不同，其余完全一样 $)$ ，随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为．

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13. 如图，已知正方形 $A B C D$ 与正五边形 $E F G C H$ 都内接于 $⊙ O$ ，则 $∠ D C H$ 的度数为．

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14. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ，对角线 $A C$ 和 $B D$ 交于点 $O$ ，若 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A O D}}{S_{△ B O C}} =$ ．

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15. 已知两个不同的点 $A (a, - 1)$ ， $B (b, - 1)$ 都在二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象上，则代数式 $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 1}$ 的值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 为 $B C$ 上的中线，将 $△ A D C$ 沿直线 $A D$ 翻折得到 $△ A D C'$ ， $C' D$ 与 $A B$ 交于点 $F$ ，连接 $C C'$ 与 $A B$ ， $A D$ 分别交于点 $E$ ， $O$ ，连接 $B C'$ ，则 $∠ C C' B =$ $.$ 若 $\frac{B E}{A E} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{B F}{F E} =$

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(1, - 4)$ ．

(1)、求 $a$ 的值和二次函数的对称轴．

(2)、若把该函数图象向上平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后与 $x$ 轴恰好只有一个交点，求 $m$ 的值．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，连接 $D E .$ 有以下四个条件： $① ∠ A E D = ∠ B$ ； $② ∠ B D E + ∠ C = 180 °$ ； $③ A D \cdot A B = A E \cdot A C$ ； $④ \frac{A D}{A C} = \frac{D E}{C B}$ ．

(1)、请你从中任选一个条件，使得 $△ A B C$ ∽ $△ A E D$ ，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．

(2)、在 $(1)$ 的前提下，若点 $E$ 为 $A C$ 中点， $A E = 2 A D = 6$ ，求线段 $A B$ 的长．

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19. 某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎．

(1)、若小丽和小红在“ $A .$ 快乐农场”、“ $B .$ 鲁班传人”、“ $C .$ 花式编织”这三个社团中各随机选择 $1$ 个，求她们选到相同社团的概率 $. ($ 社团名称可用 $A$ ， $B$ ， $C$ 表示 $)$

(2)、小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如下表：
实验种子数量 $($ 粒 $)$
$100$
$200$
$300$
$600$
$800$
$1200$
发芽种子数量 $($ 粒 $)$
$93$
$185$
$283$
$569$
$761$
$1139$
种子发芽率 $($ 精确到 $0.001)$
$0.930$
$0.925$
$0.943$
$0.948$
$0.951$
$0.949$
$①$ 根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为 ▲ $($ 精确到 $0.01)$ ．
$②$ 社团成员在农场播种 $2000$ 粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？

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20. 已知二次函数 $y = 2 (x - 1) (x - m)$ 的图象与直线 $y = 2 x - 6$ 经过 $x$ 轴上的同一点．

(1)、求二次函数的表达式．

(2)、判断二次函数图象的顶点是否在直线 $y = 2 x - 6$ 上，并说明理由．

(3)、若 $2 (x - 1) (x - m) < 2 x - 6$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围．

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21. 某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯 $A B$ ， $C D$ 之间行走，点 $A$ ， $C$ 为光源，影子 $P E$ 和 $P F$ 在线段 $B D$ 上，图 $①$ ，图 $②$ 为示意图 $.$ 已知 $A B = C D = 8 m$ ，小静的身高 $O P = 1.6 m$ ， $O P ⊥ B D$ 于点 $P$ ， $B D = 14.4 m$ ．

(1)、如图 $①$ ，当点 $P$ 为 $B D$ 中点时，分别求线段 $P E$ ， $P F$ 的长．

(2)、如图 $②$ ，当点 $P$ 不是 $B D$ 中点时，设 $P E = a$ ，求线段 $P F$ 的长 $. ($ 用含有 $a$ 的代数式表示 $)$

(3)、由此，你觉得 $P E$ 与 $P F$ 存在怎样的数量关系？

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22. 综合与实践
【问题提出】
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆 $.$ 那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？

(1)、【实验探究】
获得猜想
观察图 $①$ 至图 $④$ ，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：
过    ▲    的四边形的四个顶点能作一个圆 $. ($ 请填写序号 $)$
$①$ 对边相等； $②$ 一组对边平行； $③$ 对角线相等； $④$ 对角互补；

(2)、推理证明
已知：在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$
求证：过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 可作一个圆．
证明：假设过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 不能作一个圆．
如图 $⑤$ ，过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点作 $⊙ O$ ，点 $D$ 不在圆上．
若点 $D$ 在 $⊙ O$ 外，
$A D$ 与 $⊙ O$ 交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，则 $∠ B + ∠ A E C = ①$     ▲
$∵ ∠ B + ∠ D = 180 °$
$∴ ∠ A E C = ∠ D$ ，
而 $∠ A E C$ 是 $△ C D E$ 的外角，
$∴ ∠ A E C ② .$     ▲     $∠ D$ 出现矛盾，故假设不成立．
所以点 $D$ 在过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的圆上．
同理可证点 $D$ 在 $⊙ O$ 内的情况．

(3)、【应用结论】
如图 $⑥$ ，四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $E$ ， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ．
$①$ 若 $∠ B A C = 30 °$ ，求 $∠ C B D$ 的度数．
$②$ 若 $C E = 3$ ， $A E = 5$ ，求线段 $B C$ 的长．

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23. 已知二次函数 $y_{1} = - x^{2} + b x + c (b, c$ 为常数 $)$ 图象的顶点横坐标比二次函数 $y_{2} = - x^{2} + 2 x + c$ 图象的顶点横坐标大 $1$ ．

(1)、求 $b$ 的值．

(2)、已知点 $A (x_{1}, m)$ 在二次函数 $y_{1} = - x^{2} + b x + c$ 的图象上，点 $B (x_{2}, n)$ 在二次函数 $y_{2} = - x^{2} + 2 x + c$ 的图象上．
$①$ 若 $x_{2} = 2 x_{1} + 1$ ，求 $n - m$ 的最大值．
$②$ 若 $x_{2} - x_{1} = t$ ，且 $x_{1} \geq 0$ 时，始终有 $n - m = 3 t$ ，求 $t$ 的值．

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24. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $F$ ， $H$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ 上， $A F = C H$ ，连接 $B D$ ， $F H$ 交于点 $E$ ，过点 $F$ ， $B$ ， $H$ 的圆交 $D H$ 于点 $P$ ，连接 $P F$ 交 $B D$ 于点 $K$ ．

(1)、证明： $∠ A F D = ∠ P F B$ ．

(2)、证明 $： \frac{K F}{D F} = \frac{B K}{B D}$ ；

(3)、当 $\frac{B K}{B D} = \frac{2}{3}$ 时，求 $\frac{D P}{P H}$ 的值．

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$x$	$\dots$	$0$	$1$	$3$	$4$	$\dots$
$y$	$\dots$	$1$	$- 1$	$1$	$5$	$\dots$

实验种子数量 $($ 粒 $)$	$100$	$200$	$300$	$600$	$800$	$1200$
发芽种子数量 $($ 粒 $)$	$93$	$185$	$283$	$569$	$761$	$1139$
种子发芽率 $($ 精确到 $0.001)$	$0.930$	$0.925$	$0.943$	$0.948$	$0.951$	$0.949$