广东省广州市第六十五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-02 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为不共线向量， $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}, \vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}, \vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、 $A, B, D$ 三点共线 B、 $A, B, C$ 三点共线 C、 $B, C, D$ 三点共线 D、 $A, C, D$ 三点共线

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3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA^'B^'C^'中， $B^{'} C^{'} = 1, O C^{'} = \sqrt{2}$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 以下四个结论：
①若a⊂α，b⊂β，则a，b为异面直线；
②若a⊂α，b⊄α，则a，b为异面直线；
③没有公共点的两条直线是平行直线；
④两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $- \frac{π}{2} < β < 0$ ， $c o s (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ， $c o s (\frac{π}{4} - \frac{β}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (α + \frac{β}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{9}$

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6. $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 {sin}^{2} (\frac{B + C}{2}) > \frac{b + c}{c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、直角或钝角三角形 D、锐角三角形

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7. 一艘游轮航行到 $A$ 处时看灯塔 $B$ 在 $A$ 的北偏东 $75 °$ ，距离为 $12 \sqrt{6}$ 海里，灯塔 $C$ 在 $A$ 的北偏西 $30 °$ ，距离为 $12 \sqrt{3}$ 海里，该游轮由 $A$ 沿正北方向继续航行到 $D$ 处时再看灯塔 $B$ 在其南偏东 $60 °$ 方向，则此时灯塔 $C$ 位于游轮的（　　）

A、正西方向 B、南偏西 $75 °$ 方向 C、南偏西 $60 °$ 方向 D、南偏西 $45 °$ 方向

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8. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, 3]$ C、 $[\frac{3}{2}, 4]$ D、 $[\frac{3}{2}, 3]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a} + \vec{b}|$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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10. 下列命题中正确的是（）

A、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为 $π$ ，则球的表面积为 $16 π$ B、圆柱形容器底半径为 $5 cm$ ，两直径为 $5 cm$ 的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 $\frac{5}{3} cm$ C、正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ D、已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{5}$ ，则该圆锥的体积为 $\frac{32 \sqrt{21}}{3} π$

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11. 在三角形 $A B C$ 所在平面内，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{m |\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{n |\vec{A C}|})$ ，其中 $λ \in (0, + \infty)$ ， $m, n \in R$ ， $m \neq 0$ ， $n \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $m |A B| = n |A C|$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的重心 B、当 $m = n = 1$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的外心 C、当 $m = cos B, n = cos C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的垂心 D、当 $m = sin B, n = sin C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的内心

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知以 $O$ 为起点的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ .

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13. 在 $△ A B C$ 中，若 $(a + c) (a - c) = b (b - \sqrt{3} c)$ ，则 $A =$

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14. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A$ ， $P$ ， $Q$ 的平面截该正方体所得截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）

①当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形.
②当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R_{1} = \frac{1}{3}$ .
③当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为四边形.
④当 $C Q = 1$ 时， $S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为棱 $P D$ 的中点．
（1）求证： $B C //$ 平面 $P A D$ ；
（2）设平面 $E B C \cap$ 平面 $P A D = E F$ ，点 $F$ 在 $P A$ 上，求证： $F$ 为 $P A$ 的中点．

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16. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(3)、若 $\vec{d} = (3, 4)$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{d}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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17. 已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x - \sqrt{3} a \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} a + b (a \neq 0)$

(1)、写出函数的单调递减区间；

(2)、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值.

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18. $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点， $A D = 1$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $cos ∠ B A C$ 的取值范围．

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19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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