浙江省宁波市七校2023-2024学年八年级上学期12月期末培优联测数学试题

试卷更新日期：2023-12-30 类型：期末考试

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一、选择题（每小题8分，共48分）

1. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 1 + 3 m \\ x + 3 y = 1 - m \end{array}$ 的解满足 $x + y > 0$ ，则m取值范围是（）

A、m>1 B、m<-1 C、m>-1 D、m<1

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2. 将一根长为 $17 c m$ 的铅丝折成三段，再首尾相接围成一个三角形，如果要求围成的三角形边长都是整数，那么满足条件的三角形有（）

A、 $6$ 个 B、 $7$ 个 C、 $8$ 个 D、 $9$ 个

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3. 如图，将一张三角形纸片 $A B C$ 的一角折叠，使点 $A$ 落在 $Δ A B C$ 处的 $A^{'}$ 处，折痕为 $D E$ .如果 $∠ A = α$ ， $∠ C E A^{'} = β$ ， $∠ B D A^{'} = γ$ ，那么下列式子中正确的是（）

A、 $γ = 2 α + β$ B、 $γ = α + 2 β$ C、 $γ = α + β$ D、 $γ = 180^{\circ} - α - β$

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4. 如图， $D$ 是 $Rt △ A B C$ 斜边 $A B$ 上一点，且 $B D = B C = A C = 1$ ， $P$ 为 $C D$ 上任意一点， $P F ⊥ B C$ 于点 $F$ ， $P E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，则 $P E + P F$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} A_{4} A_{5}$ ， $△ A_{5} A_{6} A_{7}$ ， $\dots$ 都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6， $\dots$ 的等腰直角三角形，若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $A_{1} (2, 0)$ ， $A_{2} (1, 1)$ ， $A_{3} (0, 0)$ ，则依图中所示规律， $A_{2023}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1010, 0)$ B、 $(- 1008, 0)$ C、 $(2, - 505)$ D、 $(1, 506)$

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6. 如图，AD为△ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，点F为BC上一点，若∠B＝2∠C，且AC＝AB+BF．则 $\frac{AC - FC}{DF}$ 的值为（　　）

A、1 B、2 C、1.5 D、3

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二、填空题（每小题6分，共48分）

7. 如图， $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$ 度．

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8. 如图，点A在线段BG上，正方形ABCD和正方形DEFG的面积分别为3和7，则△CDE的面积为．

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9. 如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S_△_AOE﹣S_△_BOD＝1，则△ABC的面积为．

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10. 如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠ACO=15°；
②∠APO+∠DCO=30°；
③△OPC是等边三角形；
④AC=AO+AP；
其中正确的有（填上所有正确结论的序号）．

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11. 若不等式 $2 | x - 1 | + 3 | x - 3 | \leq a$ 有解，则实数 $a$ 最小值是．

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12. 如图，在 $△ M N G$ 中， $M N = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ M = 75 °$ ， $M G = 3$ ，点 $O$ 是 $△ M N G$ 内一点，则点 $O$ 到 $△ M N G$ 三个顶点的距离和的最小值是．

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13. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为．

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14. 甲地宏达物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度沿快速通道向乙地匀速行驶，快递车到达乙地后，卸完物资并另装货物共用了 45 分钟，然后按原路以另一速度返回，直至与货车相遇．已知货车行驶速度为 60 km/h，两车间的距离 y(km) 与货车行驶时间 x(h) 之间的函数图象如图所示：
给出以下四个结论：
① 快递车从甲地到乙地的速度是 100 km/h；
② 甲、乙两地之间的距离是 80 km；
③ 图中点 B 的坐标为 ( $2 \frac{3}{4}$ ， 35)；
④ 快递车从乙地返回时的速度为 90 km/h．
其中正确的是（填序号）．

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三、解答题（第15题8分，第16、17题10分，第18题12分，第19题14分，共54分）

15. 已知a，b，c为三个非负数，且满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1.
(1)求c的取值范围．
(2)设S＝3a＋b－7c，求S的最大值和最小值．

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16. 在等腰 $R t △ A O B$ 和等腰 $R t △ D O C$ 中， $∠ A O B = ∠ D O C = 90^{°}$ ，连 $A D, M$ 为 $A D$ 中点，连 $O M$ ．
（1）如图1，请写出 $O M$ 与 $B C$ 的关系，并说明理由；
（2）将图1中的 $△ C O D$ 旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．

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17. （1）如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ D = 20 °$ ， $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ C B D = 10 °$ ，求证 $A B = C D$ ．
（2）如图2所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 100 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，延长 $A C$ 至 $D$ 使 $C D = A B$ ，求 $∠ C D B$ ．

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18. 已知一次函数 $y = 2 x - 4$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $A$ 、 $B$ ，点 $P$ 在该函数图象上， $P$ 到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ．

(1)、当 $P$ 为线段 $A B$ 的中点时，求 $d_{1} + d_{2}$ 的值；

(2)、直接写出 $d_{1} + d_{2}$ 的范围，并求当 $d_{1} + d_{2} = 3$ 时点 $P$ 的坐标；

(3)、若在线段 $A B$ 上存在无数个 $P$ 点，使 $d_{1} + a d_{2} = 4$ （ $a$ 为常数），求 $a$ 的值．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x+ $\sqrt{3}$ 和直线l₂：y＝﹣ $\sqrt{3}$ x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l₁上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF+ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ OP的最小值；
（3）将△OBC沿直线l₁平移，平移后记为△O₁B₁C₁ ，直线O₁B₁交l₂于点M，直线B₁C₁交x轴于点N，当△B₁MN为等腰三角形时，请直接写出点C₁的横坐标．

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