山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-11 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 某直线运动的物体从时刻 $t$ 到 $t + Δ t$ 的位移为 $Δ s$ ，那么 $\underset{Δ t \to 0}{l i m} \frac{Δ s}{Δ t}$ 为（　　）

A、从时刻 $t$ 到 $t + Δ t$ 物体的平均速度 B、从时刻 $t$ 到 $t + Δ t$ 位移的平均变化率 C、当时刻为 $Δ t$ 时该物体的速度 D、该物体在 $t$ 时刻的瞬时速度

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2. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{3}{x})}^{'} = 1 + \frac{3}{x}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ C、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$ D、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$

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3. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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4. 函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3 x + a （其中 a \in R ）$ 的单调增区间是（）

A、 $(- \infty, - 1), (3, + \infty)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $R$

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5. 已知 $a = \frac{l n 2}{2}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{2 l n 3}{9}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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6. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系 $P (t) = P_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{30}}$ ，其中P₀为 $t = 0$ 时该放射性同位素的含量.已知 $t = 15$ 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 $- \frac{3 \sqrt{2} \ln 2}{10}$ ，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（）

A、20天 B、30天 C、45天 D、60天

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7. 若点 $P (1, m)$ 不在函数 $f (x) = x^{3} - 3 m x$ 的图像上，且过点P有三条直线与 $f (x)$ 的图像相切，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{4}] \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ ，则下列结论中正确的个数是（）
①当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{- x} (x - 1)$
②函数 $f (x)$ 有3个零点
③ $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$
④ $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 2$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列复合函数的导数计算正确的有（）

A、若函数 $f (x) = e^{2 x}$ ，则 $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ B、若函数 $f (x) = ln (\frac{2}{x})$ ，则 $f^{'} (x) = - \frac{1}{x}$ C、若函数 $f (x) = 3^{3 x + 1}$ ，则 $f^{'} (x) = 3^{3 x + 1} ln 3$ D、若函数 $f (x) = {sin}^{2} (3 x + \frac{π}{4})$ ，则 $f^{'} (x) = 3 cos (6 x)$

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10. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $(a, b)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 内的图象如图所示，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内一定不存在最小值 B、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内只有一个极小值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内有两个极大值点 D、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内可能没有零点

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11. 已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $f^{'} (x)$ 是其导函数，恒有 $\frac{f^{'} (x)}{\sin x} > \frac{f (x)}{\cos x}$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{2} f (\frac{π}{4})$ B、 $f (\frac{π}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2} f (\frac{π}{6})$ C、 $f (\frac{π}{6}) < 2 \cos 1 \cdot f (1)$ D、 $f (\frac{π}{3}) > 2 f (1) \cos 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (1) x^{2} + x + 5$ ，则 $f^{'} (1) =$

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13. 若函数 $f (x) = e^{x} + a x$ 有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．

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14. 已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 3, x \leq 1 \\ - x^{2} + 2 x + 3, x > 1 \end{array}$ ，则使 $f (x) - e^{x} - m \leq 0$ 恒成立的 $m$ 的范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 求下列函数的导数．
（1） $y = e^{x} \cos x + \sqrt{x} - t^{2}$ （ $t$ 为常数）；
（2） $y = \ln {(2 x + 5)}^{3} + \frac{\ln x}{x}$ .

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16. 已知函数f(x)＝x²＋aln x．

(1)、当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；

(2)、若函数g(x)＝f(x)＋ $\frac{2}{x}$ 在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．

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17. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 $\frac{64 π}{3}$ m³.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．

(1)、将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；

(2)、确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x (a \geq 2)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于3的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e}, e]$ 上恰有两个零点，求a的取值范围．

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19. 已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 和 $g (x) = \sqrt{x}$ .

(1)、求证： $f (x) < g (x)$ ；

(2)、设 $φ (x) = [\frac{4}{g^{2} (x)} + t] f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在极值点，求实数 $t$ 的取值范围.

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