浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-10 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}, B = {x ∣ x > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 1}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 1}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + 4 i}{2 + i},$ 则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、5 D、 $5 \sqrt{5}$

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3. “ $m > 1$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} - \frac{y^{2}}{m + 3} = 1$ 表示的曲线是双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2 \sqrt{3} | \vec{a} |$ ，且 $\vec{a} ⊥ (3 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 苍南168黄金海岸线由北向南像一条珍珠项链，串联了一个个金色沙滩､岛礁怪石､肥沃滩涂和一座座渔村古寨､山海营地，被赞为中国东海岸“一号公路”.现有小王和小李准备从烟堆岗，炎亭沙滩，棕榈湾，滨海小镇4个网红景点中随机选择一个游玩，设事件 $A$ 为“小李和小王选择不同的景点”，事件 $B$ 为“小李和小王至少一人选择炎亭沙滩景点”，则 $P (A ∣ B) =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{7}{8}$

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6. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{10} = 20$ ，则 $a_{4} \cdot a_{6} + a_{6}^{2}$ 的最大值为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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7. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0, c^{2} = a^{2} - b^{2})$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 c x = 0$ 的切线与椭圆 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{F B} = 2 \vec{A F}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上恰有三个零点，且 $f (\frac{3 π}{2}) = f (\frac{15 π}{8}) = - f (- \frac{3 π}{4})$ ，则 $ω$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{52}{27}$ D、 $\frac{16}{3}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下，则正确的是（）
$X$
$- 2$
$- 1$
1
2
$P$
$\frac{1}{9}$
$m$
$n$
$\frac{2}{9}$

A、 $m + n = \frac{2}{3}$ B、 $P (X < 2) = \frac{7}{9}$ C、若 $m = \frac{1}{9}$ ，则 $E (X) = \frac{1}{3}$ D、 $D (X^{2}) = 2$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E, F$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的两个动点，且 $E F = 1$ ， $G$ 是 $B C$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、三棱锥 $B_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $E F G$ C、在线段 $A D$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $D_{1} Q / /$ 平面 $E F G$ D、平面 $E F G$ 截正方体的外接球的截面面积为 $\frac{13}{9} π$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x \geq a \\ x + a, x < a \end{array} (a \in R), g (x) = e^{f (x)} + f (x) - k - 2,$ （ $k \in R, e$ 是自然对数的底数），则下列说法正确的是（）

A、若 $a \leq \frac{1}{4}$ ，则不存在实数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立 B、若 $a > \frac{1}{4}$ ，则不存在实数 $x_{0}$ 使得 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ 成立 C、若 $f (x)$ 的值域是 $R$ ，则 $a \in [0, 2]$ D、当 $a = 2$ 时，若存在实数 $x_{0} \in (0, 1)$ ，使得 $g (g (x_{0})) = x_{0}$ 成立，则 $k \in (e^{2}, e^{3})$

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三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.

12. 二项式 ${(1 - 3 x)}^{7}$ 展开式中所有项的系数之和为.

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13. 2024年2月1日至4日花样滑冰四大洲锦标赛在中国上海举行，甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者承担语言服务､医疗服务､驾驶服务3个项目志愿服务，每名志愿者需承担1项工作，每项工作至少需要1名志愿者，甲不承担语言服务，则不同的安排方法有种.（用数字作答）

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14. 已知 $a > 1$ ，对任意 $x \in (1, + \infty)$ 都有 $(l n a - \frac{1}{x}) \frac{a e}{x^{\frac{1}{e}}} - e^{\frac{1}{x}} l n x \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

15. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 S = a b cos B + b^{2} cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围.

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16. 已知 $f (x) = e^{x} - a (x - 1), a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = \frac{1}{2} A B = 2, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $P D E$ 位置时， $P C = 4$ .

(1)、求证： $C E ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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18. 在已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{2^{n + 1}}{3^{n}} a_{n}, n 为偶数 \\ \frac{3^{n + 1}}{2^{n}} a_{n}, n 为奇数 \end{array}$

(1)、求 $a_{2}$ 及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{a_{2}}{S_{1} S_{2}} + \frac{a_{3}}{S_{2} S_{3}} + ⋯ + \frac{a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ；

(3)、 ${a_{n}}$ 中是否存在不同的三项 $a_{p}, a_{q}, a_{r} (p, q, r \in N^{*})$ 恰好成等差数列？若存在，求出 $p, q, r$ 的关系；若不存在，请说明理由.

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19. 已知直线 $l : y = k x + 1$ 与抛物线 $Γ : x^{2} = 4 y$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $|A B|$ （用 $k$ 表示）；

(2)、过点 $A, B$ 分别作直线 $l$ 的垂线交抛物线 $Γ$ 于 $D, C$ 两点.
（i）求四边形 $A B C D$ 面积的最小值；
（ii）试判断直线 $l$ 与直线 $C D$ 的交点 $Q$ 是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由.

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$X$	$- 2$	$- 1$	1	2
$P$	$\frac{1}{9}$	$m$	$n$	$\frac{2}{9}$