浙江省温州市2024-2025学年浙教版八年级上册期末数学培优竞赛试卷1

试卷更新日期：2024-12-27 类型：期末考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 设 $a = \sqrt{7} - 1$ ，则 $3 a^{3} + 12 a^{2} - 6 a - 12 =$ （）

A、24 B、25 C、 $4 \sqrt{7} + 10$ D、 $4 \sqrt{7} + 12$

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2. 小明在做数学题时，发现一个有趣的结果（如图），由此，我们可知道第100行的最后一个数是（）

A、10000 B、10020 C、10120 D、10200

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3. 化简 $\sqrt{23 - 6 \sqrt{10 + 4 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}}$ 的结果是（）

A、 $3 + \sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 - \sqrt{2}$

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4. 按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值 $x$ ”到“结果是否 $> 487$ ？”为一次操作，如图操作四次才停止，那么 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 7$ B、 $x \leq 19$ C、 $7 < x < 19$ D、 $7 < x \leq 19$

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5. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为 $\frac{5}{2}$ ，则点F到BC的距离为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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6. 方程x²+2xy+3y²=34的整数解(x，y)的组数为（）．

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图， $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F + ∠ G = n \cdot 90 °$ ，则 $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 在下列三个 $2 \times 2$ 的方格中各画出一个三角形，要求所画的三角形是图中 $△ A B C$ 经过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画的三角形涂上阴影，符合要求的三角形的个数为（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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9. 由1、2、3、4这四个数字组成四位数 $\bar{a b c d}$ （数字可重复使用），要求满足 $a + c = b + d$ ．这样的四位数共有（）

A、36个 B、40个 C、44个 D、48个

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10. 若 $a b c = 1$ ， $a + b + c = 2$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ ，则 $\frac{1}{a b + c - 1} + \frac{1}{b c + a - 1} + \frac{1}{c a + b - 1}$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 分解因式 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 4 x + 5 y + 3 =$ ．

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12. 甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．

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13. 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原价降低了 $6.4 %$ ，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是．（注：利润率 $=$ $\frac{销售价 - 进价}{进价} \times 100 %$ ）

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14. 已知一个直角三角形的边长均为整数，周长为30，则斜边的长为．

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15. 设 $S = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2024^{2}} + \frac{1}{2025^{2}}}$ ，则与 $S$ 最接近的整数是．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0， $\sqrt{2}$ ），B（ $\sqrt{2}$ ， 0），C是线段AB的中点，D是x轴上的一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，其中∠DAE=90°，连结CE．当CE为最小值时，此时△ACE的面积是．

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三、解答题（本题共7小题，共46分）

17. 设 $n$ 为正整数，化简 $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y＝k₁x＋b（k₁≠0）经过点A（4，0），B（0，2），与直线l₂：y＝k₂x（k₂≠0）交于点P（a，1）．
（1）求直线l₁、l₂的表达式；
（2）C为直线 $l_{1}$ 上一点，过点C作直线m⊥x轴于E，直线m交l₂于点D．当CD＝3ED时，求C点的坐标．

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19. 一个正整数 $x$ ，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则为另一个完全平方数，求这个正整数.

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20. 已知 $a, b, c, x, y, z$ 都是非零实数，且 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = a x + b y + c z$ ，求证： $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ ．

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21. 如图1， $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ，且 $B D : A D : C D = 2 : 3 : 4$ ．

(1)、试说明 $△ A B C$ 是等腰三角形；

(2)、已知 $S_{△ A B C} = 40 {cm}^{2}$ ，如图2，动点 $M$ 从点 $B$ 出发以每秒 $1 cm$ 的速度沿线段 $B A$ 向点 $A$ 运动，同时动点 $N$ 从点 $A$ 出发以相同速度沿线段 $A C$ 向点 $C$ 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点 $M$ 运动的时间为 $t$ （秒）．
①若 $△ D M N$ 的边与 $B C$ 平行，求 $t$ 的值；
②若点 $E$ 是边 $A C$ 的中点，问在点 $M$ 运动的过䅅中， $△ M D E$ 能否成为等腰三角形？若能，求出 $t$ 的值，若不能，请说明理由．

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22. 已知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}$ ，求证：

(1)、 $a, b, c$ 三个数中必有两数之和为零；

(2)、对于任意奇数 $n$ ，均有 $\frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} + \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n} + b^{n} + c^{n}} = \frac{1}{{(a + b + c)}^{n}}$ ．

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