广东省广州市越秀区2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

试卷更新日期：2025-01-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = - {(x + 3)}^{2} + 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 3, 5)$ B、 $(3, 5)$ C、 $(5, - 3)$ D、 $(5, 3)$

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3. 若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 3 x + k^{2} - 1 = 0$ 的一个根为0，则k的值为（　　）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、1或 $- 1$

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4. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为E．若 $C D = 8$ ， $O D = 5$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转后得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，且点 $B^{'}$ 恰好落在边 $A B$ 上，若 $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ A^{'} C A =$ （）

A、 $35 °$ B、 $70 °$ C、 $20 °$ D、 $40 °$

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6. 如图， $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ， $A D$ 经过圆心 $O$ ，若 $∠ D = 30 °$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角 $∠ A O B$ 的度数近似为（）

A、 $90 °$ B、 $72 °$ C、 $54 °$ D、 $20 °$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 是线段 $A C$ 上一点， $A E : C E = 1 : 2$ ，过点 $C$ 作 $C D ∥ A B$ 交 $B E$ 的延长线于点 $D$ ，若 $△ A B E$ 的面积等于 $4$ ，则 $△ B C D$ 的面积等于（）

A、8 B、16 C、24 D、32

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9. 形如 $x^{2} + 8 x = 33$ 的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积： $33 + 4 \times 2^{2} = 49$ ，则该方程的正数解为 $7 - 2 \times 2 = 3$ ，羊羊同学按此方法解关于x的方程 $x^{2} + m x = 64 (m > 0)$ 时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线： $x = - 2$ ，下列说法：① $a b c > 0$ ；② $4 a - 2 b \leq t (a t + b)$ （t为全体实数）；③ $c > 3 a$ ；④若 $A (m, y_{1})$ 和 $B (m + 1, y_{2})$ 为图象上两点，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m < - \frac{5}{2}$ ．其中正确的是（）

A、②③ B、②④ C、③④ D、①②

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11. 若 $A (- 3, 2)$ ，则点A关于原点的对称点的坐标为．

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12. 已知关于x的一元二次方程x²+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是.

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13. “任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）

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14. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．

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15. 通过对数据的记录、整理和分析，发现飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间近似存在一个函数关系，测得一些数据（如下表）：
滑行时间t/秒
0
1
2
3
4
滑行距离s/米
0
58.5
114
166.5
216
根据表中的数据，从一次函数和二次函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映滑行距离与滑行时间之间的函数关系，并根据所选的函数模型估计飞机着陆后滑行秒时停下来．

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16. 如图，已知点 $A (3, 0)$ ， $⊙ O$ 的半径为2，点P为 $⊙ O$ 上一动点，将线段 $A P$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A Q$ ．
（1）当点P落在x轴正半轴上时，点Q的坐标为；
（2）连接 $O Q$ ，当点P在 $⊙ O$ 上运动时， $O Q$ 的最大值为．

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三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解方程： $x^{2} - 6 x - 7 = 0$

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，每个小正方形的顶点叫做格点， $△ O B C$ 的三个顶点都在格点上．

(1)、将 $△ O B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ O B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ O B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以 $O$ 为位似中心，在位似中心异侧把 $△ O B C$ 放大到原来的 $2$ 倍，得到 $△ O B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ O B_{2} C_{2}$ ．

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19. 如图，已知函数 $y_{1} = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴交于 $A (- 1, 0)$ ， B两点，过点B的直线 $y_{2} = k x + b$ 与抛物线在第二象限交于点C．

(1)、求线段 $A B$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为10，结合图象，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，求x的取值范围．

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20. 已知①号盒子中有2个白球、1个黄球，②号盒子中有m个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．

(1)、若从②号盒子中随机取出1个球，它是黄球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，求m的值；

(2)、在（1）的条件下，分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率．

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21. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜 $M N$ ，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头 $A B$ 进行移动，使物距 $O C$ 为32厘米，光线 $A O 、 B O$ 传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像 $A^{'} B^{'}$ ，此时测得像距 $O D$ 为 $12.8$ 厘米．

(1)、求像 $A^{'} B^{'}$ 的长度．

(2)、已知光线 $A P$ 平行于主光轴l，经过凸透镜 $M N$ 折射后通过焦点F，求凸透镜焦距 $O F$ 的长．

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22. 某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件39元．

(1)、若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？

(2)、若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？

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23. 如图所示，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 内接四边形， $∠ A D C = 90 °$ ， $D A = D B$ ，点E为 $\overset{⌢}{A D}$ 上一点，且 $A E = C D$ ．

(1)、尺规作图：作线段 $A E$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、求证： $∠ E A D + ∠ A D B = 90 °$ ；

(3)、若 $A D = 3 C D = 3$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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24. 已知抛物线 $G : y = a x^{2} + b x - 8 a (a \neq 0)$ 经过点 $M (3, - 5 a)$ ，抛物线G与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），点P为抛物线G上A，B之间的动点（点P不与点A，B重合）．

(1)、求该抛物线的对称轴；

(2)、若 $a > 0$ ， $△ P A B$ 的面积的最大值为9，求 $y = a x^{2} + b x - 8 a (a \neq 0)$ 在 $3 a - 2 \leq x \leq 3 a + 1$ 时的取值范围；

(3)、若 $a < 0$ ，点D为线段 $A B$ 上一定点（点D不与点A，B重合），过D作x轴的垂线l，直线l分别交射线 $A P$ ， $B P$ 于点E，F，若点P运动的过程中， $D E + 2 D F$ 的值始终为6，求a的值．

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25. 如图所示， $A B C D$ 为矩形， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上一动点， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，将线段 $A F$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $F G$ ， $F G$ 与 $C D$ 交于点 $H$ ．

(1)、求线段 $B D$ 的长；

(2)、连接 $D G$ ，若 $∠ D G F = 90 °$ ，求 $B E$ 的长；

(3)、连接 $A H$ ， $A H$ 与 $B D$ 交于点 $K$ ，求 $△ A K F$ 面积的最小值．

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滑行时间t/秒	0	1	2	3	4
滑行距离s/米	0	58.5	114	166.5	216