广西壮族自治区桂林市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-24 类型：期末考试

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一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1. 若一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的二次项系数为1，则常数项为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $- 3$

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2. 已知线段 $a : b = c : d$ ，其中 $a = 1 cm$ ， $b = 2 cm$ ， $c = 5 cm$ ，则 $d$ 等于（）

A、 $10 cm$ B、 $\frac{5}{2} cm$ C、 $1 cm$ D、 $\frac{2}{5} cm$

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3. 下列各点在反比例函数 $y = \frac{6}{\dot{x}}$ 的图象上的是（）

A、 $(1, 5)$ B、 $(- 2, - 3)$ C、 $(4, 2)$ D、 $(3, - 2)$

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4. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、有两个正的实数根

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5. 一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树苗的价格都一样）.采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：请你帮采购小组出谋划策，应选购（）
树苗平均高度（单位：m）方差
甲苗圃 1.8 0.2
乙苗圃 1.8 0.6
丙苗圃 2.0 0.6
丁苗圃 2.0 0.2

A、甲苗圃的树苗 B、乙苗圃的树苗 C、丙苗圃的树苗 D、丁苗圃的树苗

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6. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x = 1$ ，则配方后所得的方程正确的是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 10$ B、 ${(x + 3)}^{2} = 8$ C、 ${(x - 3)}^{2} = 10$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 8$

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7. 如图1是某班级的三角形花架，图2是其侧面示意图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A C = 39 cm$ ， $\frac{B D}{D F} = \frac{3}{4}$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $42 cm$ B、 $52 cm$ C、 $91 cm$ D、 $117 cm$

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8. 如图，某山坡的坡面 $A B = 300$ 米，坡角 $∠ B A C = 35 °$ ，则该山坡的高度 $B C$ 是（）

A、 $\frac{300}{\cos 35 °}$ 米 B、 $\frac{300}{\sin 35 °}$ 米 C、 $300 \cos 35 °$ 米 D、 $300 \sin 35 °$ 米

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9. 如图， $A B$ 和 $D E$ 是直立在地面上的两根立柱， $A B$ 的长为6米，某一时刻 $A B$ 在阳光下的投影 $B C = 4$ 米， $D E$ 在阳光下的投影长为8米，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{16}{3}$ 米 B、 $10$ 米 C、 $12$ 米 D、 $16$ 米

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10. 若反比例函数 $y = \frac{m - 4}{x}$ 的图象位于第一，三象限，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 4$ B、 $m > 4$ C、 $m < - 4$ D、 $m > - 4$

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11. 今年政府继续支持家电以旧换新，涵盖了冰箱，洗衣机，电视，空调等8类家电商品．桂林出台最高补贴标准为按每件销售价格的 $20 %$ 给予补贴（每位消费者仅补贴一件，且补贴不得超过2000元）．李老师今年购买某品牌的全自动洗衣机一台，享受最高补贴后实际支付了2961元．已知此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百分率相同，设每次降低的百分率为 $x$ ，则根据题意，下列方程正确的是（）

A、 $4800 \times (1 - x) = 2961$ B、 $4800 \times {(1 - x)}^{2} \times (1 - 20 %) = 2961$ C、 $4800 \times {(1 - x)}^{2} \times 20 % = 2961$ D、 $4800 \times {(1 - x)}^{2} = 2961 \times (1 - 20 %)$

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12. 我们学过“黄金分割”，知道“黄金分割”应用广泛，与之对应，还有一种分割叫“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的 $A_{4}$ 纸（图①），对折后分割成两个全等并与 $A_{4}$ 纸相似的 $A_{5}$ 纸（图②），这就是一个“白银分割”的例子．图中 $A_{4}$ 纸长边与短边的比值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）

13. 若 $a = 2 b$ ，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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14. 已知 $∠ α$ 为锐角，若 $\tan α = 1$ ，则 $∠ α =$ $°$ ．

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15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 = 0$ 的一个根为 $- 2$ ，则另一个根为．

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16. 青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞 $20$ 只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出 $40$ 只青蛙，其中有标记的青蛙有 $4$ 只，估计这个池塘里大约有只青蛙．

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17. 如图，已知点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上， $A B ∥ y$ 轴交 $x$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴上，若 $△ A B C$ 的面积为3，则 $k$ 的值为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 cm$ ， $A C = 8 cm$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发沿 $B A$ 方向向终点 $A$ 以 $1 cm / s$ 的速度移动；同时，点 $Q$ 从 $A$ 出发沿 $A C$ 方向向终点 $C$ 以 $2 cm / s$ 的速度移动．设运动时间为 $t (s)$ ，当 $t =$ 时， $△ A B C$ 与 $△ A P Q$ 相似．

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三、解答题（本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）

19. 计算： $|\sqrt{3} - 2| + 2 \cos 30 °$ ．

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20. 解方程 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ，$ 点D、B、C、E在同一条直线上，且 $∠ D = ∠ C A E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ E C A$ ；

(2)、若 $A C = 6 ， C E = 4$ ，求 $B D$ 的长度．

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22. 如图，在边长为1的小正形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点 $O$ 为位似中心，在第一象限内将 $△ O A B$ 放大到原来的2倍后得到 $△ O A^{'} B^{'}$ ，其中 $A 、 B$ 在图中格点上，点 $A 、 B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ ．

(1)、在第一象限内画出 $△ O A^{'} B^{'}$ ；

(2)、求 $△ O A^{'} B^{'}$ 的面积．

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23. 学校组织七、八年级学生参加了体能测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成缋 $x$ （单位：分）进行统计：
七年级 90，94，79，84，71，76，90，83，86，87
八年级 75，76，90，87，78，93，88，87，87，79
整理如表，根据以上信息，回答下列问题：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
$b$
44.4
八年级
84
$a$
87
36.6

(1)、直接写出表中 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是哪个年级的学生？请说明理由；

(3)、学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．

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24. 【学科综合】我们知道：光线从空气中射入水中，会发生折射现象（如图1），我们把 $n = \frac{\sin α}{\sin β}$ 称为光线从空气射入水中的折射率（其中 $α$ 代表入射角， $β$ 代表折射角）．
【观察实验】为了观察光线从空气射入水中的折射现象，设计了图2所示的实验，用激光笔 $M N$ 发射激光，图3是实验的示意图，矩形 $A B F E$ 为水槽的截面图，水槽未注水时， $P$ 点发出的一束激光正好在水槽底端 $B$ 处形成光斑；保持激光入射角度不变，注满水后，光斑移动到 $C$ 点，点 $A$ ， $C$ ， $B$ 在同一直线上，测得 $B F = 24 cm$ ， $D F = 32 cm$ ．

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、若 $B C = 14 cm$ ，求光线从空气射入水中的折射率 $n$ ．

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25. 综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式 $x^{2} - 8 x + 19$ 的最小值．
解：原式 $= (x^{2} - 8 x + 16) + 3 = {(x - 4)}^{2} + 3$ ．
$∵ {(x - 4)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ {(x - 4)}^{2} + 3 \geq 3$ ，
$∴ x^{2} - 8 x + 19$ 的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式 $p^{2} - 10 p + 24$ 的最小值．
【问题迁移】
（2）若 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 12 b = - 40$ ，求 $a$ ， $b$ ．
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D E F$ 的三边长．根据勾股定理，可得 $A E = \sqrt{c^{2} + c^{2}} = \sqrt{2} c$ ，我们把关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ ，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式 $p^{2} - 10 p + 24$ 的最小值是“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一个根，且 $c^{2} = 8 - 2 a b$ ，试求四边形 $A C D E$ 的周长．

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26. 如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3 B C = 12$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $A B = 3 A D$ ， $A C = 3 A E$ ，连接 $D E$ ．将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转，记旋转角为 $α$ ．

(1)、【问题发现】当 $α = 0 °$ 时， $\frac{B D}{C E} =$ ______；当 $α = 180 °$ 时， $\frac{B D}{C E} =$ ______；

(2)、【拓展探究】试判断：当 $0 ° < α < 180 °$ 时， $\frac{B D}{C E}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

(3)、【问题解决】当 $△ A D E$ 旋转至 $B$ ， $D$ ， $E$ 三点共线时，直接写出线段 $C E$ 的长．

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	树苗平均高度（单位：m）	方差
甲苗圃	1.8	0.2
乙苗圃	1.8	0.6
丙苗圃	2.0	0.6
丁苗圃	2.0	0.2

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	84	85	$b$	44.4
八年级	84	$a$	87	36.6