上海市黄浦区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2025-01-22 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{63 a}$ C、 $\sqrt{a^{2} - 2 a + 4}$ D、 $\sqrt{\frac{a}{3}}$

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2. 下列函数中，是正比例函数的是（）

A、 $y = 2 (x - 1)$ B、 $y = \frac{1}{2 x}$ C、 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ D、 $y = \frac{x}{2}$

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3. 下列关于 $x$ 的方程中，有两个实数根的是（）

A、 $x^{2} = 1$ B、 $x^{2} - x + 2 = 0$ C、 $2 x^{2} + 1 = 0$ D、 ${(x + 1)}^{2} = m$ （ $m$ 为常数）

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4. 已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长 $x$ ，高为 $y$ ，那么 $y$ 关于 $x$ 的函数图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列命题中，是假命题的是（）

A、百米赛跑中，运动员的平均速度 $v$ 与跑步成绩 $t$ 成反比例 B、反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ ，当自变量 $x$ 逐渐增大时， $y$ 的值随着逐渐减小 C、三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 D、直角三角形可以分割成两个等腰三角形

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 5, A C = 12, B C = 13, A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $B E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，下列结论错误的是（）

A、 $A D ⊥ B E$ B、点 $E$ 到 $B C$ 的距离等于线段 $A E$ 的长度 C、点 $D$ 在线段 $A C$ 的垂直平分线上 D、 $13 S_{△ A B E} = 5 S_{△ B E C}$

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二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7. 函数 $y = \sqrt{4 - x}$ 中自变量的取值范围是．

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8. 计算： $\sqrt{\frac{3}{20}} \div \sqrt{\frac{1}{5}} =$ ．

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9. 反比例函数 $y = \frac{2 - m}{x}$ 的图象在第一、三象限，那么 $\sqrt{{(m - 2)}^{2}} =$ ．

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10. 方程 ${(x + 1)}^{2} = 4$ 的根为．

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11. 在实数范围内分解因式： $2 x^{2} + x - 2 =$ ．

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12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (m - 1) x = \frac{1}{2} m$ 根的情况是．

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13. 函数 $y = (π - 3) x$ 的图像经过第象限（请全部写出）．

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14. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像上有两点 $A (3, y_{1}), B (1, y_{2})$ ，那么 $y_{1} - y_{2}$ 0．（用“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”填空）

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15. 勾股定理的逆命题是（写成“如果…那么”的形式）．

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16. 如图所示的三角形为直角三角形，那么字母 $A$ 所表示的正方形面积等于．

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17. 将两块斜边长等于2的三角尺（ $Rt △ A B C$ 与 $Rt △ A B D$ ）的斜边完全叠合按图所示摆放， $E$ 为 $A B$ 中点，连接 $E C$ 和 $E D$ ，那么 $△ E C D$ 的而积等于．

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18. 如图1，已知直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, ∠ A = 30 °, E, F$ 为直线 $A B$ 上的两点，且 $C E = C F$ ．设E、F两点的距离为 $x, △ C E F$ 与 $Rt △ A B C$ 重叠部分的面积为 $y$ ，图2是 $y$ 关于 $x$ 的函数的图象．根据两图信息，图2中 $M N$ 段函数的解析式是．

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三、简答题（本大题共4题，第19~21题每题6分；第22题8分，共26分）

19. 计算： $\sqrt{48} - 2 \sqrt{0.75} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}} .$

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20. 解方程： $2 {(x - 3)}^{2} + x = 3$ ．

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21. 如图，已知线段 $a$ ，

(1)、求作等腰三角形 $A B C$ ，使其底边 $B C$ 长为 $a$ ，底边上的高长为 $2 a$ ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论．

(2)、如果 $a = 2$ ，求等腰三角形 $A B C$ 的腰长．

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22. 小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间 $x$ （月）成正比例．施工结束后， $y$ 与 $x$ 成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题：

(1)、施工过程中 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是______；

(2)、已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于 $0.08$ 毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？

(3)、施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（ $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，结果精确到 $1 %$ ）

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四、解答题（本大题共3题，第23～24题每题8分；第25题10分，共26分）

23. 如图，直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, D$ 为 $B C$ 上一点，作 $D F ⊥ A B$ ，垂足为 $F$ ，同时 $A D$ 恰好垂直平分 $C F$ ．

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、如果 $F$ 是 $A B$ 中点， $B C = 3$ ，求 $C D$ 长度．

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24. 如图，已知直线 $M N$ 与 $B C$ 交于点 $B, ∠ M B C = 60 °, B A$ 平分 $∠ M B C$ ，三角形 $A B C$ 为等腰三角形，且 $A B = A C = 2$ ．点 $E$ 是线段 $B A$ 上的一点（不与点 $B 、 A$ 重合），点 $F$ 在射线 $B N$ 上，满足 $E C = E F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、求证： $∠ B F E = ∠ E C B$ ；

(2)、设 $B E = x, △ B F E$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式．

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25. 平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面 $x O y$ 中，曲线 $m$ 是一条抛物线，点 $F$ 是这条抛物线的焦点，直线 $l$ 是拋物线 $m$ 的准线．如果点 $B$ 为抛物线 $m$ 上任意一点，连接 $B F$ ，并作 $B D ⊥ l$ ，垂足为D， $B D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，那么由抛物线的定义可知 $B F = B D$ ．已知抛物线 $m$ 的准线 $l$ 的表达式为 $x = - 1$ ．

(1)、①如图可知抛物线 $m$ 经过原点，那么点 $F$ 坐标为______；
②如图，如果 $B D = B F = 3$ ，作 $B G ⊥ x$ 轴，那么 $B E = O G =$ ______， $G B =$ ______．

(2)、直线 $y = x$ 与抛物线 $m$ 在第一象限交于点 $P$ ，求 $P$ 点坐标；

(3)、反比例函数图象与抛物线 $m$ 交于点 $A$ （位于第一象限），过点 $A$ 作 $A H ⊥ x$ 轴，垂足为 $H$ ，如果 $S_{△ A F H} = \frac{1}{2} S_{△ A O H}$ ，直接写出这个反比例函数的函数解析式．

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