浙江省嘉兴市平湖市2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-03 类型：期末考试

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一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分．请选出各题中唯一正确的选项，不选、多选、错选，均不得分．）

1. 平面直角坐标系中，点 $A (1, - 2)$ 关于x轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, - 1)$

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2. 等腰三角形的一腰长为3a，底角为15°，则另一腰上的高为（）

A、a B、 $\frac{3}{2}$ a C、2a D、3a

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3. 某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件 $\frac{a + b}{2}$ 元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（）

A、 $a > b$ B、 $a < b$ C、 $a = b$ D、 $a \geq b$

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4. 如图，将一张三角形纸片 $A B C$ 的一角折叠，使点A落在 $△ A B C$ 外的 $A^{'}$ 处，折痕为 $D E$ ．如果 $∠ A = 30 °, ∠ C E A^{'} = α$ ， $∠ B D A^{'} = β$ ，那么下列式子中正确的是（）

A、 $β = 60 ° + α$ B、 $β = 30 ° + 2 α$ C、 $β = 30 ° + α$ D、 $β = 120 ° - α$

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5. 已知直线 $y = k_{1} x + b_{1}$ 与直线 $y = k_{2} x + b_{2}$ 的交点坐标为 $(2, - 3)$ ，则直线 $y = k_{1} x - b_{1}$ 与直线 $y = k_{2} x - b_{2}$ 的交点坐标为（）

A、 $(- 3, - 2)$ B、 $(3, - 2)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(- 2, 3)$

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6. 已知三个实数 $a, b, c$ ，满足 $a = 4 b - 7, b = \frac{1}{2} c + 2$ ．当 $a > b > c$ 时，则 $c$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{2}{3} < c < 3.5$ B、 $\frac{2}{3} < c < 4$ C、 $2 < c < 3.5$ D、 $2 < c < 4$

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7. 我们知道 $y = f (x)$ 是函数的一种表达方式，形如 $y = k x + b (k \neq 0, k, b$ 为常数）的一次函数，我们可把它记为 $f (x) = k x + b$ ．如： $f (x) = 2 x + 1$ ，当 $x = 1$ 时， $f (1) = 2 \times 1 + 1 = 3$ ．已知函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2}) - 2024$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 1012$ B、 $f (0) = - 2024$ C、 $y = f (x) - 2024$ 的图象经过原点 D、 $y = f (x) - 2024$ 的图像关于 $y$ 轴对称

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 的点 $B 、 C 、 E$ 在同一条直线上，点 $M$ 为 $A F$ 的中点，连接 $D M 、 C M 、 C F$ ，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段 $D M$ 的长（）

A、 $C F$ B、 $C M$ C、 $D G$ D、 $A F$

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二、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 1$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 上的点，则下列说法正确的是（）

A、若 $∠ B A C = 60 °$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、若 $D E ⊥ A B, D F ⊥ A C$ ，则 $D E : D F = 1 : 2$ C、若 $D E$ ， $D F$ 分别平分 $∠ A D B, ∠ A D C$ ，则 $∠ E D F = 90 °$ D、若 $D E$ ， $D F$ 分别平分 $∠ A D B, ∠ A D C$ ，则 $D F ∥ A B$

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10. 已知一次函数 $y = k x - k$ 的图象为 $l$ ，函数 $y = |x|$ 的图象为 $E$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $l$ 过点 $(2, 3)$ ，则 $k = 3$ B、若 $l$ 与直线 $y = 2 x + 7$ 垂直，则 $k = 2$ C、当 $k = 2$ 时，图象 $l$ ， $E$ 与 $y$ 轴围成的三角形的面积为2 D、若图象 $l$ 与 $E$ 恰有一个交点，则 $k > 1$ 或 $k < - 1$

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11. 若实数m，n满足 $n < m < 4 n$ ，那么一定成立的有（）

A、 $m > 0$ B、 $2 < \frac{m + n}{n} < 5$ C、 $|m + n| > 3 |m n|$ D、 $(m - n) (2 m - 7 n) < 0$

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三、填空题（本题有3小题，每题4分，共12分）

12. 若正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的图象经过 $A (a, 3)$ ， $B (a - 3, 9)$ 两点，则k的值为．

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13. 若关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x > m \end{array}$ 的解集是 $x > 2$ ，则m的取值范围是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °, A B = A C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $B E$ 平分 $∠ D B C$ ， N，M分别为射线 $B C, B E$ 上的动点．若 $B D = 8$ ，则 $C M + M N$ 的最小值为．

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四、解答题（本题有5小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 已知在平面直角坐标系中，点 $A (4, 2)$ ，直线 $l : y = - 8 x + 16$ 与 $x$ 轴的交点为 $B$ ．

(1)、求过点 $A$ 且与 $l$ 平行的直线的函数表达式；

(2)、求线段 $A B$ 的垂直平分线的函数表达式．

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16. 解下列关于x的不等式（组）：

(1)、 $\{\begin{array}{l} 2 x + 1 < 3 x + 3 \\ 4 x - a^{2} \leq 3 x \end{array}$

(2)、 $|a| x > 1 - 2 a x$ ．

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17. 如图，在 $A B C$ 中， $A B = A C = 2, ∠ B = 50 °$ ，点D在线段 $B C$ 上运动（不含端点），连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = 50 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点E．

(1)、当线段 $D C$ 的长为何值时， $△ A B D ≌ △ D C E$ ；

(2)、在点D的运动过程中， $△ A D E$ 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出 $∠ B D A$ 的度数；若不可以，请说明理由．

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18. 如图1，已知直线 $y = \frac{1}{2} x + 3$ 与x轴，y轴分别交于点A，B，点C与点A关于y轴对称．

(1)、求直线 $B C$ 的函数解析式；

(2)、过x轴上的一个动点 $M (m, 0)$ 作y轴的平行线，分别交直线 $A B$ ， $B C$ 于点P，Q．
①若 $△ P Q B$ 的面积为4.5，求m的值；
②如图2，点M在线段 $A C$ 上，连接 $B M$ ．若 $∠ B M P = ∠ B A C$ ，直接写出P的坐标．

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19. 一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{a_{3}}{a_{2}} = \dots = \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = q$ （ $q$ 为非零常数），我们把数列 $\{a_{n}\}$ 叫做等比数列， $q$ 叫做公比；若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{b_{1}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{a_{2}} = \dots = \frac{b_{n}}{a_{n}} = q$ ，我们把数列 $\{b_{n}\}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ 的“ $2$ 级等比数列”；若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $\frac{c_{1}}{a_{1}} = \frac{c_{2}}{a_{2}} = \dots = \frac{c_{n}}{a_{n}} = q^{2}$ ，我们把数列 $\{c_{n}\}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ 的“ $3$ 级等比数列”；依次类推，若数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $\frac{d_{1}}{a_{1}} = \frac{d_{2}}{a_{2}} = \dots = \frac{d_{n}}{a_{n}} = q^{k - 1}$ ，我们把数列 $\{d_{n}\}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ 的“ $k$ 级等比数列”， $k \geq 2$ 且 $k$ 为整数．

(1)、分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”；

(2)、若等比数列： $1$ ， $2$ ， $4$ ， $\dots$ ， $2^{n}$ ．
①求该等比数列的所有数之和 $S$ ．
②设 $P$ ， $Q$ ， $K$ 分别是该数列 $\{a_{n}\}$ 的 $p$ ， $q$ ， $k$ 级等比数列的所有数之和．若 $p + q = 2 k$ ，求证： $P \cdot Q = K^{2}$ ．

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