甘肃省兰州市第十一中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2025-01-22 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共36分）

1. 下列各数中，是无理数的是（）

A、 $- 6$ B、 $3.14$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{16}$

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2. 以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）

A、1，2，3 B、 $3^{2}$ ， $4^{2}$ ， $5^{2}$ C、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2}$ ， $3$ ， $5$

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3. 一次函数 $y = - 2 x + 3$ 的图象向上平移1个单位长度后，与 $y$ 轴的交点坐标为（）

A、 $(0, 4)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(5, 0)$ D、 $(1, 0)$

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4. 下列命题，是真命题的是（）

A、自然数都大于0 B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C、同位角相等 D、若 $a b = 0$ ，则 $b = 0$

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5. 校运动会女子跳远项目预赛有13名同学参加，她们预赛的成绩各不相同，取成绩前6名的同学参加决赛．某同学跳出了 $4.58$ 米的成绩，她能否进入决赛需要知道这13名同学成绩的（）

A、中位数 B、众数 C、加权平均数 D、方差

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6. 估算 $\sqrt{15} + 2$ 在哪两个数之间（）

A、2和3 B、3和4 C、4和5 D、5和6

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7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）

A、 $\{\begin{matrix} \begin{matrix} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{matrix} \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} \begin{matrix} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{matrix} \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} \begin{matrix} y = x - 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{matrix} \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} \begin{matrix} y = x - 4.5 \\ y = 2 x + 1 \end{matrix} \end{matrix}$

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8. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点 $A$ 到点 $C$ ， $B$ 为 $A C$ 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）

A、20米 B、25米 C、30米 D、15米

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9. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与 $y = \frac{1}{2} x + k$ 的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $∠ B$ ， $∠ C$ 的平分线相交于 $D$ ，过点 $D$ 作 $E F ∥ B C$ ，交 $A B$ 于 $E$ ，交 $A C$ 于 $F$ ，那么下列结论中：① $B E = D E$ ；② $D F = E D$ ；③ $∠ B D C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ；④ $△ A E F$ 的周长 $= A B + A C$ ，其中正确的有几个（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 一个长方形的周长为12cm，一边长为x(cm)，则它的另一条边长y关于x的函数关系用图象表示为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，已知长方形纸带 $A B C D$ ，将纸带沿 $E F$ 折叠后，点 $C$ 、 $D$ 分别落在 $H$ 、 $G$ 的位置，再沿 $B C$ 折叠，若 $∠ D E F = 72 °$ ，则 $∠ G M N =$ （）

A、 $78 °$ B、 $76 °$ C、 $72 °$ D、 $64 °$

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二、填空题（每小题3分，共12分）

13. 在平面直角坐标系xOy中，点 $M (- 2, 5)$ 关于x轴对称的点的坐标是．

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14. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与 $y = - x + 4$ 的图像相交于点 $P (m ， 1)$ ，则关于x、y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} y = k x + b \\ y = - x + 4 \end{matrix}$ 的解是．

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15. 一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得的新两位数比原来两位数大9．这样的两位数共有个．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 、点 $B$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的负半轴上，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折，点 $B$ 恰好落在 $x$ 轴正半轴上的点 $D$ 处，则点 $C$ 的坐标为．

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三、解答题（共72分）

17. 计算： $\sqrt{27} - \sqrt{\frac{3}{2}} \times \sqrt{8}$ ．

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18. 计算： ${(2024 - π)}^{0} + | \sqrt{3} - 1 | - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12}$ ；

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19. 解方程组 ${\begin{cases} 3 y - 2 x = 1 ① \\ \frac{x + 2}{3} = \frac{y + 1}{4} ② \end{cases}$

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20. 如图，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ， $∠ B = ∠ E$ ．求证： $A B ∥ C E$ ．

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21. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如一统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：

(1)、求图1中的 $m =$ 　　　，本次调查数据的中位数是　　　 $h$ ，本次调查数据的众数是　　　 $h$ ；

(2)、若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间小于 $3h$ 的人数．

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22. 《国务院关于印发全民健身计划（

2021 - 2025

年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板

M N

的长，因不方便直接测量，设计方案如下：

课题	测量照明灯灯板 $M N$ 的长
方案及说明	工具	竹竿、米尺
	方案及图示
	相关数据及说明	竹竿长度为 $10 m$ ，灯板 $M N$ 垂直地面 $A B$ 于点 $O$ ，线段 $A M$ ， $B N$ 表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点 $M$ 重合，另一个端点落在地面的点 $A$ 处，第二次将竹竿的一个端点与点 $N$ 重合，另一个端点落在地面的点 $B$ 处已知 $A O = 6 m$ ， $B O = 8 m$
	计算过程	……

请根据上述方案中的内容，计算 $M N$ 的长．

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23. 在解方程组 $\{\begin{matrix} a x + 4 y = 21 \\ 3 x - b y = 6 \end{matrix}$ 时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的 $a$ ，而得到解为 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \end{array}$ ，乙同学看错了方程组中的 $b$ ，而得到解为 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 4 \end{array}$ ，求原方程组的解．

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24. 小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别表示小军与观光车所行的路程 $y (m)$ 与时间 $x (\min)$ 之间的关系．
根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发______分钟追上小军；
（2）求 $l_{2}$ 所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．

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25. 某地区 $2022$ 年进出口总额为 $520$ 亿元． $2023$ 年进出口总额比 $2022$ 年有所增加，其中进口额增加了 $25 ％$ ，出口额增加了 $30 ％$ ．（注：进出口总额 $=$ 进口额 $+$ 出口额）．

(1)、设 $2022$ 年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表中两个空白处：
年份
进口额（亿元）
出口额（亿元）
进出口总额（亿元）
$2022$
x
y
$520$
$2023$

……

(2)、已知 $2023$ 年进出口总额比 $2022$ 年增加了 $140$ 亿元，求 $2023$ 年进口额和出口额分别是多少亿元？

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26. 如图，直线 $y = 2 x + 1$ 与直线 $y = m x + n$ 相交于点 $P (1, b)$ ，且两直线分别与 $x$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $B$ 坐标为 $(4 ， 0)$ ．

(1)、求点 $P$ 坐标；

(2)、一元一次方程 $m x + n = 0$ 的解为__________；

(3)、若直线 $y = 2 x + 1$ 上有一点 $Q$ ，使得 $S_{△ A B P} = \frac{1}{2} S_{△ A B Q}$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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27. 在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(x_{1}, y_{1})$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $y_{1} \neq y_{2}$ ．若 $P$ 、 $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ 、 $Q$ 的“相关矩形”，如图①为点 $P$ 、 $Q$ 的“相关矩形”示意图．若点 $P (1, 0)$ ，点 $Q (m, 5)$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，在图②中画出点 $P$ 、 $Q$ 的“相关矩形”并求它的周长．

(2)、若点 $P$ 、 $Q$ 的“相关矩形”为正方形，求 $m$ 的值．

(3)、已知一次函数 $y = - 2 x + 4$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，若在线段 $A B$ 上存在一点 $C$ ，使得点 $C$ 、 $Q$ 的“相关矩形”是正方形，直接写出 $m$ 的取值范围．

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28. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【全等模型】如图1，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C$ ， $B D ⊥$ 直线 $l$ ， $C E ⊥$ 直线 $l$ ，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ．易证： $△ A B D ≌ △ C A E$ ．
（1）①如图1，若 $B D = 3$ ， $C E = 5$ ，则 $D E =$ __________；
②如图2， $∠ A O B = 90 °$ ， $O A = O B$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ，连接 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，求点 $A$ 的坐标，点 $M$ 的坐标．
【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 向外作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C F G$ ， $A H$ 是 $B C$ 边上的高，延长 $H A$ 交 $E G$ 于点 $I$ ，若 $B H = 2$ ， $C H = 3$ ，求 $A I$ 的长；
【拓展探究】（3）如图4， $y = 2 x + 6$ 的图象分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是第二象限内一点，使 $△ P A B$ 是等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标．

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年份	进口额（亿元）	出口额（亿元）	进出口总额（亿元）
$2022$	x	y	$520$
$2023$			……