广西南宁市2024-2025学年高二上学期期末教学调研数学试卷

试卷更新日期：2025-01-24 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若一条直线的斜率等于 $\sqrt{3}$ ，则该直线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = - 2, a_{4} = 128$ ，则公比 $q$ 为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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3. 若直线 $(a + 2) x - y + 1 = 0$ 和直线 $a x - y - 1 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，设 $M$ 是双曲线 $E$ 上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $E$ 的左，右焦点，若 $|M F_{1}| = 3$ ，则 $|M F_{2}| =$ （）

A、5 B、7 C、9 D、11

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5. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和，若 $S_{4} = 6, S_{8} = 20$ ，则 $S_{12}$ 为（）

A、42 B、48 C、60 D、72

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6. 在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = A D = 2, A A^{'} = \sqrt{2}, ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 45^{\circ}$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，则 $A C^{'}$ 的长为（）

A、10 B、12 C、 $\sqrt{22}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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7. 直线 $y = k (x - 2) + 4$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个不同交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{5}{12})$ B、 $(\frac{5}{12}, \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{5}{12}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$

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8. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在双曲线 $E$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B}, \vec{F_{2} A} = - \frac{2}{3} \vec{F_{2} B}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.

9. 下列命题中，正确的是（）

A、如果 $A B > 0$ 且 $B C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不经过第三象限. B、若直线 $l_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 2 x + a y - 2 = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . C、圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称的圆方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ . D、点 $A (x, y)$ 为圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上任意一点，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为6.

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10. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A$ 是椭圆的上顶点， $△ F_{1} A F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $B F_{2}$ 的长为 $\frac{12}{5}$ D、 $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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11. 如图，点P是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、当点P在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积不变 B、当点P在线段AC上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、使直线AP与平面ABCD所成角为 $45^{\circ}$ 的动点P的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$ D、若F是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，PF长度的最小值为 $\sqrt{5}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 抛物线y ²=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = - 3 n^{2}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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14. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 $\frac{|M Q|}{|M P|} = λ (λ > 0, λ \neq 1)$ ，那么点 $M$ 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点 $M$ 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，定点 $Q$ 为 $x$ 轴上一点， $P (- \frac{1}{2}, 0)$ 且 $λ = 2$ ，若点 $B (1, 1)$ ，则 $2 |M P| + |M B|$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知线段 $P Q$ 的端点 $P$ 的坐标是 $(4, 3)$ ，端点 $Q$ 在圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，已知直线 $l$ 的方程为 $2 x - y + 1 = 0$ ，请判断直线 $l$ 与曲线 $C$ 的位置关系，并说明理由.

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16. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 15$ 且 $S_{4} = 4 S_{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D, A B ⊥ B C$ ， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $S A = A B = B C = 1, A D = \frac{1}{2}$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求平面 $S C D$ 与平面 $S A B$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，右焦点为 $(\sqrt{7}, 0)$ ，且过点 $(- 4, 3)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A (4, 1)$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于点 $M, N$ ，直线 $A N$ 与双曲线 $C$ 交于另一点 $P$ ，设直线 $A M, A N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．
（i）求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值；
（ii）求证：直线 $M P$ 过定点，并求出该定点的坐标．

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19. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 的左，右焦点，已知点 $M (0, 2)$ 在椭圆 $Γ_{1}$ 上，点 $N$ 为椭圆 $Γ_{1}$ 上的动点，且 $△ N F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $Γ_{1}$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作斜率为1的直线与椭圆 $Γ_{1}$ 交于 $P, Q$ 两点，求 $△ M P Q$ 的面积.

(3)、黄金分割的比例 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即 ${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2}$ ，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆 $Γ_{n} : \frac{x^{2}}{a_{n}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{n}^{2}} = 1 (a_{n} > b_{n} > 0)$ 均是“完美椭圆”，其中 $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ 便是（1）中的椭圆.另一方面，若在椭圆 $Γ_{k} : \frac{x^{2}}{a_{k}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{k}^{2}} = 1$ 上任取一点 $A_{k}$ ，以 $A_{k}$ 为切点作椭圆 $Γ_{k}$ 的切线与直线 $l_{k} : x = \frac{a_{k}^{2}}{c_{k}} (a_{k}^{2} = b_{k}^{2} + c_{k}^{2}$ 且 $a_{k + 1} < a_{k})$ 交于点 $B_{k}$ ，以 $A_{k} B_{k}$ 为直径作圆，设此圆恒过椭圆 $Γ_{k + 1}$ 的右顶点 $(a_{k + 1}, 0)$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + \dots \dots + c_{n} < \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$ .

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