甘肃省白银市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2025-01-21 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．

1. 某积木配件如图所示，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知反比例函数 $y = \frac{k - 4}{x}$ 的图象位于第一、三象限，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 4$ B、 $k \geq 4$ C、 $k < 4$ D、 $k > 0$

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3. 若 $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{x}{x + y} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{8}$

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4. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是边 $A B$ 的中点，连接 $O E$ ，若 $O E = 3$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 用配方法解方程x²-2x=2时，配方后正确的是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 3$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 3$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 6$

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6. 在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列验证方法错误的是（）

A、 $A D ⊥ D C$ B、 $O A = O B$ C、 $A C = B D$ D、 $O A = A B$

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7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则实数k的取值范围是（）．

A、 $k > - 1$ B、 $k < 1$ C、 $k \geq - 1$ 且 $k \neq 0$ D、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$

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9. 一块三角形纸板 $A B C$ 如图所示， $B C = 15 cm$ ， $A C = 12 cm$ ，测得 $B C$ 边的中心投影 $B_{1} C_{1}$ 的长为 $20 cm$ ，则 $A C$ 边的中心投影 $A_{1} C_{1}$ 的长为（）

A、 $24 cm$ B、 $20 cm$ C、 $16 cm$ D、 $8 cm$

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10. 如图，小明用七巧板拼成一个边长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形，则矩形的对角线长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是．

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12. 兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的麦粒数 $n$
100
200
500
1000
2000
发芽的麦粒数 $m$
91
178
450
900
1820
发芽的频率 $\frac{m}{n}$
0.91
0.89
0.90
0.90
0.91
通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为．（精确到0.1）

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为对角线 $B D$ 上一点，连接 $A E$ ， $C E$ ， $∠ B C E = 70 °$ ，则 $∠ E A D$ 的度数为．

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14. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $A B = 9$ ， $A C = 6$ ，则要使 $△ A B C ∽ △ A C D$ ，只要 $A D =$ ．

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15. 实数 $m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两个根，则多项式 $m n + m + n$ 的值为．

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $M$ 为 $x$ 轴正半轴上一点，过点 $M$ 的直线 $l ∥ y$ 轴，且直线 $l$ 分别与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 和 $y = - \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $P$ ， $Q$ 两点，连接 $O P$ ， $O Q$ ，若 $S_{△ P O Q} = 5$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 用因式分解法解方程： $x (x + 3) - 5 (x + 3) = 0$ ．

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18. 如图，已知 $△ A B C$ ，在边 $A C$ 上截取 $A F = A B$ ，过点 $F$ ， $B$ 分别作 $A B$ ， $A C$ 的平行线相交于点 $E$ ，求证：四边形 $A B E F$ 是菱形．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (3, 1)$ ， $B (1, 2)$ ， $C (4, 3)$ ．

(1)、以原点O为位似中心，在第一象限内画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 的相似比为2：1．

(2)、写出 $C_{1}$ 的坐标．

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20. 在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，白色小球有1个．

(1)、小远从箱子中任意摸出1个小球，则刚好摸出白色小球的概率为________．

(2)、小远将前面摸出的1个小球放回箱子，又放入 $m$ 个白色小球，摇晃均匀后任意摸出1个小球，记下颜色，经过大量反复的试验，发现摸到白色小球的概率约为 $\frac{3}{4}$ ，求 $m$ 的值．

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21. 如图，在路灯下，甲的身高如图中线段 $A B$ 所示，他在地面上的影子如图中线段 $A C$ 所示，小亮的身高如图中线段 $F G$ 所示，路灯M在线段 $D E$ 上．

(1)、请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段．

(2)、如果灯距离地面 $12 m$ ，乙的身高 $1.6 m$ ，乙与灯杆的距离 $6.5 m$ ，请求出乙影子的长度．

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22. 如图，已知一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于 $A (a, 3)$ ， $B (3, 1)$ 两点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式．

(2)、 $(- 5, m)$ ， $(- 2, n)$ 是反比例函数图象上的两点，请你比较 $m$ ， $n$ 的大小．

(3)、在第一象限内，当 $x$ 为何值时， $y_{1} > y_{2}$ ？请直接写出 $x$ 的取值范围．

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四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

23. 如图，已知 $E$ 是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一点， $B F ⊥ A E$ 于 $F$ ，试说明： $△ A B F ∽ △ E A D$ ．

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24. 某次化学实验课上，姚老师带来了 $Fe$ （铁）、 $Al$ （铝）、 $Zn$ （锌）、 $Cu$ （铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与稀盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知： $Fe$ 、 $Al$ 、 $Zn$ 可以置换出氢气，而 $Cu$ 不能置换出氢气）

(1)、小远从四种金属中随机选一种，则选到 $Zn$ 的概率是__________．

(2)、小松从四种金属中随机选一种金属，小惠也从四种金属中随机选一种金属，分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．

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25. 兰州拉面是兰州著名的风味小吃，享誉全国．兰州拉面的制作工艺独特，包括选料、和面、醒面、溜条和拉面等步骤，它巧妙地运用了面筋蛋白质的延伸性和弹性．某厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度 $y$ （单位： $m$ ）是面条横截面面积 $S$ （单位： ${mm}^{2}$ ）的反比例函数，其图象经过 $A (4, 32)$ ， $B (a, 80)$ 两点（如图）．

(1)、求 $y$ 与 $S$ 之间的函数关系式；

(2)、求 $a$ 的值，并解释它的实际意义．

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26. 靖远县薰衣草庄园准备再次绿化，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为 $120$ 元；如果购买树苗超过 $60$ 棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 $0.5$ 元，但每棵树苗的最低售价不得少于 $100$ 元．

(1)、当购买 $60$ 棵树苗时，所需的树苗款为________元；当购买 $x (x > 60)$ 棵树苗时，每棵树苗的售价在 $120$ 元的基础上降价________元，最后的售价是________元．

(2)、庄园向园林公司支付树苗款 $8800$ 元，请问该庄园共购买了多少棵树苗？

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27. 在四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 边上的点， $∠ D F C = 2 ∠ F C E$ ．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 是正方形， $∠ D F C = 60 °$ ， $B E = 2$ ，则 $A F =$ ________．

(2)、如图2，若四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A = 120 °$ ， $∠ D F C = 90 °$ ， $B E = 2$ ，求 $\frac{A F}{A E}$ 的值．

(3)、如图3，若四边形 $A B C D$ 是矩形， $E$ 是 $A B$ 的中点， $C E = 12$ ， $C F = 13$ ，求 $\frac{A F}{A E}$ 的值．

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试验的麦粒数 $n$	100	200	500	1000	2000
发芽的麦粒数 $m$	91	178	450	900	1820
发芽的频率 $\frac{m}{n}$	0.91	0.89	0.90	0.90	0.91