浙江省绍兴市越城区元培中学2024-2025学年七年级上学期期末学业水平考数学试卷

试卷更新日期：2025-01-27 类型：期末考试

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一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．）

1. 下列小木棒的长度中，最接近9厘米的是（）．

A、8.6厘米 B、8.5厘米 C、9.6厘米 D、9.5厘米

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2. 已知算式“ $3$ ■ $(- 3)$ ”的运算结果为 $6$ ， “■”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（）．

A、 $+$ B、 $-$ C、 $\times$ D、 $\div$

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3. 如图是 $4 \times 4$ 方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（）．

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 在师生共建“班级图书角”的捐书活动中，小明所捐的图书册数是小聪的1.2倍，小慧所捐的图书比小明少3本．设小明捐了x册图书，则三人共捐图书（）册．

A、 $\frac{11}{5} x + 3$ B、 $\frac{11}{5} x - 3$ C、 $\frac{17}{6} x + 3$ D、 $\frac{17}{6} x - 3$

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5. 下列各种说法中，不正确的是（）．

A、 $2 π$ 是一个无理数 B、 $- \frac{1}{64}$ 的立方根是 $- \frac{1}{4}$ C、只有正数才有算术平方根 D、 $\sqrt{13}$ 和 $- \sqrt{13}$ 都是正数13的平方根

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6. 数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是 $\sqrt{3}$ ，则点C表示的数是（）．

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $4 - \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} - 2$

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7. 分配律用式子可表达为 $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ ．下列四个计算：① $- 12 \times (1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ ；② $15 \times \frac{1}{3} - 32 \times \frac{1}{8} + 14 \times (- \frac{1}{7})$ ；③ $18 \times (- \frac{1}{8}) - 18 \times \frac{1}{3} + 18 \times 0.125$ ；④ $24 \times \frac{3}{5} - 24 + 12 \times \frac{4}{5}$ ．适合运用分配律来简化计算的算式有（）．

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、①③④

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8. 如图，一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石．则这一标志性建筑的底面边长x是（）米．

A、3.8 B、4 C、4.2 D、5

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9. 已知线段 $A B = 3 cm$ ，延长线段 $A B$ 到点C，使 $B C = \frac{5}{3} A B$ ， M为线段 $A C$ 的中点．点P在线段 $A C$ 上，且到M点的距离为 $2cm$ ，现有下列判断：①P为线段 $M C$ 或线段 $A M$ 的中点；② $B M = 1 cm$ ；③ $A P = 2 cm$ 或 $6cm$ ；④ $B M = \frac{1}{3} P C$ ；⑤P为线段 $A C$ 的四等分点．则正确判断的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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10. 有这样一个数字游戏：将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字、每一列从上到下的数字均按从小到大排列，当数字3和4固定在图中所示的位置时，此时根据游戏规则填空格，则所有可能出现的填写结果共有（）种．
3
4

A、6 B、8 C、10 D、12

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二、填空题（本题有7小题，每小题3分，共21分．请将本题答案用签字笔或钢笔写在答题卡对应答题区域内．）

11. 小芸从小就养成了记日常生活开销流水帐的习惯．她把支出100元记作 $- 100$ 元，那么收入80元应记作元．

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12. 已知 $x = 1$ 是一元一次方程 $5 - a x = x$ 的解，则 $a =$ ．

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13. 如图，实数 $\sqrt{2} + 1$ 在数轴上的对应点可能是点．

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14. 如图，天平左边托盘上放着3个乒乓球，右边托盘上放着 $5 g$ 的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡．如果设1个乒乓球的质量为 $x$ （ $g$ ），由题意你所列出的一个含有未知数 $x$ 的方程是．

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15. 定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知 $∠ A O B = 120 °$ ， $∠ B O C = 30 °$ ，若 $O M$ 为 $∠ A O B$ 的三等分线，则 $∠ M O C$ 的度数为．

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16. 大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚.这启发人们设计了一种新的加减记数法.
比如：9写成 $\begin{array}{l} 1 \bar{1} \end{array} ， 1 \bar{1} = 10 - 1$ ；

198写成 $20 \bar{2} ， 20 \bar{2} = 200 - 2$ ；

7683写成 $1 \bar{232} 3 ， 1 \bar{232} 3 = 10000 - 2320 + 3$

总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算 $5 \bar{2} 3 \bar{1} - 3 \bar{24} 1 =$ .

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17. 将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是．

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三、解答题（本大题有7小题，共49分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

18. 计算：

(1)、 $4 + 2 \times 3^{2}$

(2)、 $2^{2} \div \frac{2}{3} \times {(- \frac{2}{3} + 1)}^{2}$ ．

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19. （1）解方程： $1 - \frac{4 - 3 x}{4} = \frac{5 x + 3}{6} - x$ ．
（2）如图， $O D$ 为 $∠ A O B$ 的平分线， $∠ A O C = 2 ∠ B O C$ ， $A O ⊥ C O$ ，求 $∠ C O D$ 的度数．

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20. 下面是振华同学解《代数式》一章中一道题目解答过程的一部分，其中A是关于m的一个多项式，请写出多项式A，并将该题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值： $m (A) + 6 (1 - m)$ ．其中 $m = - \frac{1}{2}$ ．
解： $m (A) + 6 (1 - m)$
$= m^{2} + 6 m + 6 - 6 m$
$=$ ① ．
当 $m = - \frac{1}{2}$ 时，
原式 $=$ ② ．

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21. 如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形 $A B C D$ ，已知 $E F = 7 cm$ ，较小正方形的边长为 $x cm$ ．

(1)、填空： $F G =$ __________ $cm$ ， $D G =$ __________ $cm$ （用含有 $x$ 的代数式分别表示）．

(2)、先用含有 $x$ 的代数式表示出长方形 $A B C D$ 的周长．当 $x = 9 cm$ 时，求长方形 $A B C D$ 的周长．

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22. 已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”： $a ※ b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{a b}$ ．例如： $2 ※ 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} - \frac{1}{2 \times 1} = 1$ ．

(1)、验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明．

(2)、计算： $2024 ※ 2025$ ．

(3)、当 $a = 2$ 时，若 $a ※ x = \frac{3}{2}$ ，尝试求出x的值．

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23. 如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板或3块小正方形纸板.4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板．现有这种规格的长方形纸板21张．

(1)、怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？

(2)、根据需要，要求加工方再制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？

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24. 一副三角尺（分别含 $45 °$ ， $45 °$ ， $90 °$ 和 $30 °$ ， $60 °$ ， $90 °$ ）按如图所示方式摆放在量角器上，边 $P D$ 与量角器 $0 °$ 刻度线 $P B$ 重合，边 $A G$ 与量角器 $180 °$ 刻度线 $P A$ 重合（ $∠ D P C = 60 °$ ）．将三角尺 $P D C$ 绕量角器中心点P以每秒 $5 °$ 的速度按逆时针方向旋转，当边 $P C$ 与 $180 °$ 刻度线 $P A$ 重合时停止转动，设三角尺 $P D C$ 转动的时间为t．
解答下列问题：

(1)、当 $t = 5$ 时，边 $P D$ 恰好与量角器__________度的刻度线重合；

(2)、在三角尺 $P D C$ 的转动过程中：
①用含有t的代数式表示： $∠ B P C =$ __________ $°$ ； $∠ A P C =$ __________ $°$ ；
②当t为何值时，边 $P C$ 平分 $∠ G P Q$ ？

(3)、在三角尺 $P D C$ 的转动过程中，是否存在某一时刻t，使 $∠ C P Q = 2 ∠ B P D$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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