第一章《整式的乘除》3 乘法公式(2)——北师大版数学七（下）课堂达标测试

试卷更新日期：2025-02-06 类型：同步测试

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一、选择题（每题5分，共25分）

1. 小周学习完“平方差公式和完全平方公式”后，发现这两个公式能使计算变得简便，例如计算“ $21 \times 19$ ”，运用公式，可得 $21 \times 19 = (20 + 1) \times (20 - 1) = 20^{2} - 1 = 399$ ，请运用所学知识求得“ $2025 \times 2023 - 2024^{2}$ ”的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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2. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如 $27 = 6^{2} - 3^{2}$ ， $63 = 8^{2} - 1^{2}$ ，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（）

A、31 B、41 C、16 D、54

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3. 如图的面积关系，可以得到的恒等式是（）

A、 $m (a + b + c) = m a + m b + m c$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

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4. 如图，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ， x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；② $x y = \frac{m^{2} - n^{2}}{4}$ ；③x²-y²=mn；④ $x^{2} + y^{2} = \frac{m^{2} - n^{2}}{2}$ 中，正确的是（　　）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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5. 小美同学为了验证平方差公式，如图是用边长为 $a$ 的大正方形剪去一个边长为 $b$ 的小正方形后得到的图形 (阴影部分)，通过剪拼，拼成了①②③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是( )

A、①②
B、①③
C、②③
D、①②③

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二、填空题（每题5分，共25分）

6. 计算： $202 3^{2} - 2022 \times 2024 =$ ．

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7. 请你观察如图的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个非常熟悉的乘法公式，这个公式是.

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8. 观察下列各式的规律： $1 \times 3 = 2^{2} - 1$ ； $3 \times 5 = 4^{2} - 1$ ； $5 \times 7 = 6^{2} - 1$ ； $7 \times 9 = 8^{2} - 1 \dots$ 请将发现的规律用含 $n$ 的式子表示为．

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三、解答题（共4题，共50分）

9.

(1)、用简便方法计算： $2021 \times 2019 - 2020^{2}$ ．

(2)、先化简，再求值： $(2 x - y) (y + 2 x) - (2 y + x) (2 y - x)$ ，其中 $x = 1 ， y = 2$ ．

(3)、计算： $(m + 2 n) (m - 2 n) (m^{2} + 4 n^{2})$ ．

(4)、若 $(a + b - 1) (a + b + 1) = 8$ ，求 $(a + b)^{2} + 1$ 的值．

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10. 运用公式进行简便计算：

(1)、 $202 3^{2} - 2022 \times 2024$ ；

(2)、 $99 \times 101 \times 10001$ ．

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11. 观察下列各式：
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}; (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}; (a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4}; \dots$

(1)、填空 $(a - b) (a^{2022} + a^{2021} b + ⋯ + a b^{2021} + b^{2022})$ =；

(2)、猜想 $(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ⋯ + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) =$ ；（其中n为正整数，且 $n \geq 2$ ）

(3)、利用（2）中的猜想的结论计算： $1 + 2 + 2^{2} + ⋯ + 2^{2021} + 2^{2022} + 2^{2023}$ ．

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12. 乘法公式的探究及应用．

(1)、如图 1，可以求出阴影部分的面积是． (写成两数平方差的形式)

(2)、如图 2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是． (写成多项式乘法的形式)

(3)、比较图 1、图 2 两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． (用等式表示)

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第一章 《整式的乘除》3 乘法公式(2)——北师大版数学七（下） 课堂达标测试

一、选择题（每题5分，共25分）

二、填空题（每题5分，共25分）

三、解答题（共4题，共50分）

第一章《整式的乘除》3 乘法公式(2)——北师大版数学七（下）课堂达标测试