浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期期末统考九年级数学试卷

试卷更新日期：2025-01-28 类型：期末考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $3$ ，点 $P$ 在 $⊙ O$ 内，则 $O P$ 的长可能是（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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2. 抛物线 $y = x^{2} - 4$ 与 $y$ 轴的交点的坐标是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(0, - 4)$

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3. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为 $150 °, 90 °$ ，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{12}$

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4. 已知 $△ A B C$ 如图所示，则下列三角形中，与 $△ A B C$ 相似的是（       ）


A、    B、    C、    D、

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5. 如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（）

A、 $180 °$ B、 $72 °$ C、 $60 °$ D、 $36 °$

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6. 如图，在直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是位似图形，位似中心为点O．若点 $A (1, 1)$ 的对应点为 $A^{'} (2, 2)$ ，则点 $B (- 1, 2)$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(2, - 4)$

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7. 西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线 $\overset{⌢}{A B}$ 的半径为90cm，圆心角 $∠ A O B = 100 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为（）

A、 $25 π$ cm B、 $50 π$ cm C、 $90 π$ cm D、 $100 π$ cm

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8. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角 $∠ B A C = 130 °$ ，点 $D$ 在伞柄 $A P$ 上， $A E = A F = D E = D F = m$ ，则 $A D$ 的长度可表示为（）

A、 $m \sin 65^{\circ}$ B、 $m \cos 65^{\circ}$ C、 $2 m \sin 65^{\circ}$ D、 $2 m \cos 65^{\circ}$

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9. 如图，点C，D在以 $A B$ 为直径的半圆上， $\overset{⌢}{A C}$ 与 $\overset{⌢}{B D}$ 的度数之和为x，延长 $A C$ 与 $B D$ 交于点E，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $x$ B、 $180 ° - x$ C、 $\frac{x}{2}$ D、 $90 ° - \frac{x}{2}$

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10. 点 $A (s, t)$ 在二次函数 $y = 2 {(x - m)}^{2}$ （m为常数）的图象上， $s - m = t \neq 0$ ．当 $s - 2 \leq x \leq s$ 时，二次函数的最大值与最小值的差为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为．

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12. 将抛物线 $y = {(x - 1)}^{2}$ 向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为．

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13. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为．（精确到0.01）
试验种子数n（粒）
5
100
500
1000
3000
5000
发芽频数m
4
92
476
951
2851
4750
发芽频率 $\frac{m}{n}$
0.800
0.920
0.952
0.951
0.950
0.950

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ D = 110 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为．

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15. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，其部分图象如图所示，则关于x的方程 $a x^{2} - 2 a x + c = - 1$ 的正数解为．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 9, C D = 6$ ， E为边 $A D$ 上一点，正方形 $P Q M N$ 的顶点P，Q分别在线段 $B E, C E$ 上，M，N在边 $B C$ 上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则 $A E$ 的长为．

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三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程）

17. （1）计算： $2 \sin 30 ° - \tan 45 °$ ．
（2）求比例式 $4 : 3 = x : 5$ 中的 $x$ ．

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18. 现有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．

(1)、用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果．

(2)、求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， D为边 $B C$ 上的一点， $B C = 6$ ， $\tan B = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $A C$ 的长．

(2)、若 $A C - C D = 2$ ，求 $\sin ∠ C A D$ 的值．

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20. 综合实践：测量拱形门建筑的高度．
素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且 $A B = 20 m$ ．在点A右侧1 $m$ 的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离 $C D$ 为3.8 $m$ ．
任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离．

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21. 尺规作图问题：作一个顶角为

30 °

的圆内接等腰三角形．

以下是小鹿的作图过程，他分两步完成，如图所示：

第一步：以 $⊙ O$ 上一点A为圆心， $O A$ 长为半径作弧，交 $⊙ O$ 于点B，连接 $O B$ ， $A B$ ．

第二步：分别以A，B为圆心，大于线段 $A B$ 长度一半的长为半径作圆弧交于 $△ A O B$ 内一点P，连接 $P O$ 并延长交 $⊙ O$ 点C，连接 $A C$ ， $B C$ ．

则 $△ A B C$ 即为所求的三角形．

请根据小鹿的作图过程回答以下问题：

(1)、求

∠ A O B

的度数．

(2)、求证：

△ A B C

是顶角为

30 °

的等腰三角形．

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22. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，过点A作 $B C$ 的平行线，交 $C D$ 延长线于点E．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ E C A$ ．

(2)、若 $A C = 4$ ， $B C = 2 A E$ ，求 $A B$ 的长．

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23. 设抛物线 $y = a x^{2} - 2 x - 3$ 与直线 $y = 2 x - 3$ 交于点 $A (4, b)$ ．

(1)、求抛物线的解析式及其对称轴．

(2)、设点 $B (x_{1}, y_{1}), C (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线上两点，且位于对称轴两侧， $x_{2} - x_{1} = 3$ ．
①若 $y_{1} = y_{2}$ ，求 $x_{1}$ 的值．
②直线 $B C$ 与直线 $y = 2 x - 3$ 交于点 $D (x_{3}, y_{3})$ ，且 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ，直接写出 $x_{1}$ 的取值范围．

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24. 如图，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点， $B C$ 的延长线交 $△ A D C$ 的外接圆于点 $E$ ，作 $A F ∥ B E$ 交 $\overset{⌢}{A E C}$ 于点 $F$ ，连结 $D F$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，记 $k = \frac{D C}{B C}$ ．
【认识图形】求证： $∠ A C B = ∠ C D F$ ．
【探索关系】求证： $D F = k A C$ ．
【问题解决】若点 $M$ 与点 $E$ 关于 $C F$ 对称
①当 $\frac{A F}{C E} = \frac{3}{2}$ 时，求k的值．
②求 $k$ 的最大值．

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试验种子数n（粒）	5	100	500	1000	3000	5000
发芽频数m	4	92	476	951	2851	4750
发芽频率 $\frac{m}{n}$	0.800	0.920	0.952	0.951	0.950	0.950