浙江省金华市婺城区2024--2025学年上学期九年级期末考试数学卷

试卷更新日期：2025-01-17 类型：期末考试

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一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）

1. 若 $3 x = 2 y$ ，则 $x ： y$ 的值是（）

A、2 B、3 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $4 cm$ ．若点 $P$ 在 $⊙ O$ 外，则 $O P$ 的长可能是（）

A、 $2 cm$ B、 $3 cm$ C、 $4 cm$ D、 $5 cm$

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3. “在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（）

A、必然事件 B、不可能事件 C、随机事件 D、确定性事件

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4. 图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（）
图① 图②

A、主视图与俯视图 B、左视图与主视图 C、左视图与俯视图 D、左视图、主视图、俯视图均相同

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5. 如图， $△ A B C ∽ △ A E D$ ， $∠ A D E = 80 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ C$ 等于（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $80 °$

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6. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A (3, 3)$ ， $B (7, 0)$ ，则 $sin ∠ A B O =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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7. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{10}{3}$

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8. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图，那么关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、无实数根 B、有两个同号不等实数根 C、有两个异号实数根 D、有两个相等实数根

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 在第一象限， $⊙ P$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴都相切，且经过矩形 $O A B C$ 的顶点 $B$ ，与 $A B$ 、 $B C$ 分别相交．若点 $A$ 的坐标是 $(8, 0)$ ，点 $C$ 的坐标是 $(0, 9)$ ．则圆心 $P$ 的坐标为（）

A、 $(6, 6)$ B、 $(5, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(4, 5)$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = Rt ∠$ ， $A C = 4$ ， $B C = 2$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $30 °$ 得 $△ A^{'} B^{'} C$ ，连结 $A A^{'}$ ， $A B^{'}$ ，则 $△ A A^{'} B^{'}$ 的面积为（）

A、 $8 - 2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3} - 3$ C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．）

11. 抛物线 $y =3 x^{2} −2$ 的顶点坐标是．

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12. 在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在0.7附近，则估计袋子中的白球有个.

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13. 如图，将直角三角板的锐角顶点 $A$ 放在 $⊙ O$ 上，边 $A B$ ， $A C$ 与 $⊙ O$ 分别交于点 $D$ ， $E$ ，连结 $D E$ ．若 $D E = 3$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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14. 如图，地面 $C D$ 上的点 $E$ 处放置平面镜，光线从 $A$ 点射出经平面镜（点 $E$ 处）反射后照射到 $B$ 点．已知 $A C ⊥ C D$ ， $B D ⊥ C D$ ，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ， $A C = 0.2$ 米， $B D = 0.5$ 米， $C D = 1.4$ 米，则 $C E$ 长为米．

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15. 如图， $⊙ O$ 与正八边形 $A B C D E F G H$ 相切于点 $A$ 、 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $8$ ，则 $\overset{⌢}{A E}$ 的长为（结果保留 $π$ ）．

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上，以 $D E$ 为边作菱形 $D E F G$ ，使点 $G$ 在 $C D$ 的延长线上，连结 $A F$ ， $C E$ ，延长 $C E$ 交 $A F$ 于点 $M$ ．若 $M$ 是 $A F$ 的中点，则 $\frac{A E}{D E} =$ ．

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三、解答题（本大题有8小题，共72分．）

17. 计算： $sin 60^{\circ} - 2 tan 45^{\circ} + 2 sin 30^{\circ} + {(- 2)}^{0}$ ．

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18. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ ， $a + b - c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．

(1)、若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________；

(2)、若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率．

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20. 图1、图2、图3均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上，点 $P$ 在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．

(1)、在图1中作 $△ A B C$ 的中线 $C D$ ；

(2)、在图2中作 $△ A B C$ 的高线 $B E$ ；

(3)、在图3中的 $B C$ 边上确定点 $Q$ ，连结 $P Q$ ，使得 $P Q ∥ A B$ ．

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21. 对于一个任意的四位数 $M$ ，若 $M$ 的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为 $3 + 7 = 1 + 9$ ，所以四位数3197是稳定数．

(1)、填空：2025稳定数（填“是”或“不是”）；

(2)、已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；

(3)、命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．

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22. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图， $△ A B C$ 、 $△ F E D$ 分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线 $P B$ 与地面 $B E$ 的夹角 $∠ P B E = 43^{\circ}$ ，视线 $P E$ 与地面 $B E$ 的夹角 $∠ P E B = 20^{\circ}$ ，点 $A$ ， $F$ 分别为 $P B$ ， $P E$ 与车窗底部的交点， $A F ∥ B E$ ， $A C$ ， $F D$ 垂直地面 $B E$ ， $A$ 点到 $B$ 点的距离 $A B = 1.6 m$ ．（参考数据： $sin 43^{\circ} \approx 0.7$ ， $tan 43^{\circ} \approx 0.9$ ， $sin 20^{\circ} \approx 0.3$ ， $tan 20^{\circ} \approx 0.4$

(1)、求车窗底部到地面的高度（即 $A C$ 的长）；

(2)、求盲区中 $D E$ 的长度；

(3)、点 $M$ 在 $E D$ 上， $M D = 1.8 m$ ，在 $M$ 处有一个高度为 $0.5 m$ 的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．

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23. 已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线 $y_{1} = x^{2} - 4$ ， $y_{2} = a x^{2} + x$ （ $a$ 为常数）．

(1)、若抛物线 $y_{1} = x^{2} - 4$ 与 $x$ 轴正半轴的交点落在抛物线 $y_{2} = a x^{2} + x$ 上，求 $a$ 的值；

(2)、已知抛物线 $y_{2} = a x^{2} + x$ 可由抛物线 $y_{1} = x^{2} - 4$ 绕点 $P$ 旋转 $180 °$ 得到，求点 $P$ 的坐标；

(3)、若在 $- 4 \leq x \leq 0$ 的范围内，始终存在 $|y_{1} - y_{2}| \leq 4$ ，求 $a$ 的取值范围（直接写出答案）．

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24. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ ， $A C$ 分别于点 $D$ ， $E$ ，连接 $B E$ ， $A D$ 相交于点 $P$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $B P = A C$ ；

(2)、若 $tan C = 2$ ，求 $\frac{D E}{B D}$ 的值；

(3)、过点 $D$ 作 $D G ⊥ B E$ 于点 $F$ ，交于 $⊙ O$ 于点 $G$ ，交 $A B$ 于点 $H$ （如图2）．求证： $D E^{2} = G H \cdot C E$ ．

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