浙江省杭州市滨江区2024-2025学年八年级上学期期末试卷数学试题

试卷更新日期：2025-01-25 类型：期末考试

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在平面直角坐标系中，点 $(2, - 1)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 如果三角形的两边长分别为3和7，那么这个三角形的第三边长可能是（）

A、2 B、4 C、5 D、10

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3. 若 $a > b$ ，则下列式子一定成立的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $- 2 a < - 2 b$ C、 $2 - a > 2 - b$ D、 $a - 2 < b - 2$

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4. 在平面直角坐标系中，将线段 $A B$ 平移后得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，点 $A (2, - 1)$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标为 $(- 2, - 1)$ ，则点 $B (- 1, 2)$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 5, - 1)$ B、 $(- 5,2)$ C、 $(3, 2)$ D、 $(- 3, 2)$

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5. 能说明命题“若 $x > y$ ，则 $x^{2} > y^{2}$ ”是假命题的反例可以是（）

A、 $x = - 2$ ， $y = 1$ B、 $x = 2$ ， $y = 1$ C、 $x = 1$ ， $y = - 2$ D、 $x = 1$ ， $y = 2$

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6. 已知一次函数 $y = k x - k - 4$ （k是常数，且 $k \neq 0$ ）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(- 2, - 4)$ D、 $(2, - 4)$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B E$ ， $C D$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ ， $B E$ ， $C D$ 相交于点P，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $∠ B A P = ∠ C A P$ B、 $△ A B P$ 与 $△ A C P$ 的面积比等于边 $A B$ 与 $A C$ 之比 C、 $B C = A P + A C$ D、若 $∠ B A C = 60 °$ ，则 $∠ B P C = 120 °$

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8. 如图，已知一次函数 $y_{1} = 2 x - 2$ ， $y_{2} = - 2 x + 4$ 的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{4}$

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9. 如图， $A C$ ， $B D$ 相交于点O，下列不能判定 $△ A B O ≌ △ D C O$ 的是（）

A、 $A O = D O$ ， $B O = C O$ B、 $A B = D C$ ， $∠ A B C = ∠ D C B$ C、 $B O = C O$ ， $A C = B D$ D、 $A C = B D$ ， $∠ A B C = ∠ D C B$

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10. 在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，直线 $l$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，点 $C$ 关于直线 $l$ 的对称点 $D$ 在边 $A B$ 上，若 $C E = 3$ ， $B E = \sqrt{14}$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{7} \pm \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{14} \pm \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{14}$

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二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．

11. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是命题（填“真”或“假”）

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12. 如图，两根竹竿 $A B$ 和 $B D$ 斜靠在墙 $C E$ 上，量得 $∠ C A B$ ， $∠ C D B$ 的度数分别为 $51 °$ ， $34 °$ ，则这两根竹竿的夹角 $∠ A B D$ 的度数为°．

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13. 函数 $y = 2 x$ 和 $y = k x + 3$ （ $k$ 是常数，且 $k \neq 0$ ）的图象相交于点 $P (1, 2)$ ，则关于 $x$ 的方程 $k x + 3 = 2 x$ 的解为．

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14. 小滨用 $100$ 元钱去购买笔记本和水笔共 $25$ 件．已知每本笔记本 $6$ 元，每支水笔 $3$ 元，则小滨最多能买的笔记本数是本．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 B C = 4$ ，点D为 $A B$ 中点，点E在 $A C$ 上，且 $D E = A D$ ，则 $C E$ 的长为．

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16. 已知一次函数 $y = m x - m - 1$ （ $m$ 为常数，且 $m \neq 0$ ），在 $- 2 \leq x \leq 2$ 的范围内，至少有一个 $x$ 的值使得 $y \geq 0$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 解不等式（组）：

(1)、 $2 x - 9 > - x$ ；

(2)、 $\{\begin{cases} 5 x - 2 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3 x}{2} \end{cases}$

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18. 已知等腰三角形 $A B C$ 的周长为12，设腰 $A B$ 长为x，底边 $B C$ 长为y．

(1)、求y关于x的函数表达式．

(2)、当腰长为4时，求底边的长．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 2$ ， $B C = D C = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A D C$ ．

(2)、当 $∠ B C A = 45 °$ 时，求证 $△ A B D$ 是等边三角形．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，线段 $A B$ 的两个端点分别为 $A (2, 0)$ ， $B (1, 3)$ ．

(1)、在此图中画出点A向左平移2个单位后得到的点C，再画出点B关于x轴的对称点D点，并写出点C，点D的坐标．

(2)、连接 $B C$ ， $A D$ ，请直接写出 $B C$ ， $A D$ 的关系．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ ， $A C$ 的垂直平分线 $D M$ ， $E N$ 分别交 $B C$ 于点D，E．

(1)、若 $B C = 6$ ，求 $△ A D E$ 的周长．

(2)、若 $∠ B A D + ∠ C A E = 50 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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22. 小滨一家从家里出发，驾驶一辆充满电的新能源汽车到古刹时，剩余电量为 $80 kwh$ ．他们再从古刹出发，沿如图 $1$ 的景区公路去飞瀑游玩．已知该车从古刹出发行驶过程中，剩余电量 $y (kwh)$ 与行驶路程 $x (km)$ 之间的关系如图 $2$ 所示．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式．

(2)、已知这辆车的“满电量”为 $100 kwh$ ，小滨一家到飞瀑游玩后原路返回家里，电量够吗？请说明理由．

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23. 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即

M O

是否垂直

P N

于点

O

，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．

问题	如何测量墙体是否与地面垂直？
工具	若干条无弹性的绳子
小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案	模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打 $13$ 个结，得到 $12$ 条线段，且用叠合法使得这 $12$ 条线段都相等，设每一条线段长为 $a$ ．如下图放置这总长是 $12 a$ 的绳子，使在 $O M$ 上的绳子 $O A = 4 a$ ，在 $O N$ 上的绳子 $O B = 3 a$ ，若 $A B = 5 a$ ，则 $A O ⊥ O B$ ，即 $M O ⊥ P N$ 于点 $O$ ，否则不垂直．	如图2，在射线 $O M$ ， $O N$ 上分别取点 $A$ ， $B$ ，放置绳子 $A B$ ，对折 $A B$ 得到相等的两段 $A C$ ， $B C$ ，放置绳子 $O C$ ，用叠合法比较 $O C$ 与 $B C$ 的长度，若 $O C = B C$ ，则墙体与地面垂直，即 $M O ⊥ P N$ 于点 $O$ ，否则不垂直．
测量示意图

(1)、第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．

(2)、请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．

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24. 如图 $1$ ，在等边三角形 $A B C$ 的 $A C$ ， $B C$ 边上分别取点 $E$ ， $F$ ，使 $A E = C F$ ，连结 $B E$ ， $A F$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求 $∠ B P F$ 的度数．

(2)、若 $∠ C B E = 45 °$ ， $P F = 2$ ，求 $B F$ 的长．

(3)、如图 $2$ ，连结 $C P$ ，若 $∠ B P C = 90 °$ ， $A B = 7$ ，求 $B P$ 的长．

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